关节正态性是正常随机变量总和是否正常的必要条件吗？

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在我对相关问题的回答之后的评论中，用户ssdecontrol和Glen_b询问和联合正态性对于断言的正态性是否必要？当然，关节正常就足够了。在那里没有解决这个补充问题，也许值得单独考虑。 $X$ $Y$ $X+Y$

由于联合常态意味着边际常态，我问

难道存在正常的随机变量和，使得是一个正常的随机变量，但和是不是共同正常的随机变量？ $X$ $Y$ $X+Y$ $X$ $Y$

如果不要求和具有正态分布，则很容易找到这样的正态随机变量。可以在我以前的答案中找到一个示例（上面提供了链接）。我认为，上面突出显示的问题的答案是“是”，并已发布（我认为是）示例作为对此问题的答案。 $X$ $Y$

— 迪利普·萨瓦特（Dilip Sarwate）
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2

您想如何处理退化的分布？例如，如果是标准正态且，则和的联合分布是简并正态分布，而是标准正态。

X

$X$

Y = - 2 X

$Y=-2X$

X

$X$

Y

$Y$

X + Y

$X+Y$

— Brian Borchers

@BrianBorchers和是联合正常的随机变量，即使分布是像你说的堕落。联合正态性的标准定义是，如果对于所有选择都是正态的，则和联合正态。在此，是退化的情况，但出于礼貌，仍称为标准随机变量。

X

$X$

Y = - 2 X

$Y = -2X$

X

$X$

Y

$Y$

a X + b Y

$aX+bY$

(a, b)

$(a,b)$

(a, b) = (0, 0)

$(a,b) = (0,0)$

— Dilip Sarwate

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令为iid。 $U,V$ $N(0,1)$

现在将如下： $(U,V) \to (X,Y)$

在第一象限（即）中，让和。 $U>0,V>0$ $X=\max(U,V)$ $Y = \min(U,V)$

对于其他象限，请围绕原点旋转此映射。

产生的二元分布看起来像（从上方看）：

$\hspace{1.5 cm}$

-紫色代表几率翻倍的区域，白色代表几率无几的区域。黑色圆圈是恒定密度的轮廓（在的圆圈上的所有位置，但在每个彩色区域内）。 $(U,V)$ $(X,Y)$

通过对称性，和都是标准法线（俯视垂直线或沿着水平线，每个白色都有一个紫色的点，我们可以将其视为水平或垂直线交叉的轴上的翻转点） $X$ $Y$
但是显然不是二元正态的，并且 $(X,Y)$
$X+Y = U+V$ 是（等同地，沿着恒定的线外表和看到，我们具有对称性类似于我们在讨论1.，但此时对线） $\sim N(0,2)$ $X+Y$ $Y=X$

— Glen_b-恢复莫妮卡
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1

+1和接受；这种构造比我自己回答的构造好得多！

— Dilip Sarwate

5

考虑具有联合密度函数联合连续随机变量其中表示标准法线密度函数。 $U, V, W$

\begin{aligned} (1) & f_{U, V, W} (u, v, w) = {\begin{cases} 2 ϕ (u) ϕ (v) ϕ (w) & if u \geq 0, v \geq 0, w \geq 0, \\ or if u < 0, v < 0, w \geq 0, \\ or if u < 0, v \geq 0, w < 0, \\ or if u \geq 0, v < 0, w < 0, \\ 0 & otherwise \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} f_{U,V,W}(u,v,w) = \begin{cases} 2\phi(u)\phi(v)\phi(w) & ~~~~\text{if}~ u \geq 0, v\geq 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v < 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v\geq 0, w < 0,\\ & \text{or if}~ u \geq 0, v< 0, w < 0,\\ & \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}\tag{1} \end{align}$

ϕ (\cdot)

$\phi(\cdot)$

显然，和是因变量。也很明显，它们不是共同的普通随机变量。但是，所有三对都是成对的独立随机变量：实际上，是独立的标准正态随机变量（因此是成对的联合正态随机变量）。简而言之，是成对独立但非相互独立的普通随机变量的示例。有关更多详细信息，请参见我的答案。 $U, V$ $W$ $(U,V), (U,W), (V,W)$ $U,V,W$

请注意，成对独立性给我们提供了和均为零方差为正常均值随机变量。现在，让我们定义并注意也是具有方差的零均值正常随机变量。此外，，因此和是依存且相关的随机变量。 $U+V, U+W$ $V-W$ $2$

\begin{matrix} (2) & X = U + W, Y = V - W \end{matrix}

$X = U+W, ~Y = V-W \tag{2}$

X + Y = U + V

$X+Y = U+V$

2

$2$

cov (X, Y) = - var (W) = - 1

$\operatorname{cov}(X,Y) = -\operatorname{var}(W) = -1$

X

$X$

Y

$Y$

$X$ 和是（相关的）正常随机变量，它们不是共同正常的，但具有它们的总和是正常随机变量的性质。 $Y$ $X+Y$

换句话说，联合正态性是断言正常随机变量之和的正态性的充分条件，但这不是必要条件。

和并非共同正态的证明 $X$ $Y$
由于的变换是线性的，因此很容易得到。因此，我们有但是具有仅当正好为1时其值不为零的特性。或其所有三个参数均为非负数。现在假设。然后，值为 $(U,V,W) \to (U+W, V-W, W) = (X,Y,W)$ $f_{X,Y,W}(x, y, w) = f_{U,V,W}(x-w,y+w,w)$

f_{X, Y} (x, y) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X, Y, W} (x, y, w) d w = \int_{- \infty}^{\infty} f_{U, V, W} (x - w, y + w, w) d w

$f_{X,Y}(x,y) = \int_{-\infty}^\infty f_{X,Y,W}(x,y,w)\,\mathrm dw = \int_{-\infty}^\infty f_{U,V,W}(x-w,y+w,w)\,\mathrm dw$

f_{U, V, W}

$f_{U,V, W}$

x, y > 0

$x, y > 0$

f_{U, V, W} (x - w, y + w, w)

$f_{U,V,W}(x-w,y+w,w)$

2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w)

$2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)$

w \in (- \infty, - y) \cup (0, x)

$w \in (-\infty,-y) \cup (0,x)$ 否则为。因此，对于，现在，，因此通过展开并对中的被积数进行一些重新排列，我们可以写其中是正常随机数均值变量

0

$0$

x, y > 0

$x, y > 0$

\begin{matrix} (3) & f_{X, Y} (x, y) = \int_{- \infty}^{- y} 2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w) d w + \int_{0}^{x} 2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w) d w . \end{matrix}

$f_{X,Y}(x,y) = \int_{-\infty}^{-y} 2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)\,\mathrm dw + \int_0^x 2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)\,\mathrm dw.\tag{3}$

\begin{aligned} (x - w)^{2} + (y + w)^{2} + w^{2} & = 3 w^{2} - 2 w (x - y) + x^{2} + y^{2} \\ = \frac{w^{2} - 2 w (\frac{x - y}{3}) + {(\frac{x - y}{3})}^{2}}{1 / 3} - \frac{1}{3} (x - y)^{2} + x^{2} + y^{2} \end{aligned}

$\begin{align} (x-w)^2 + (y+w)^2 + w^2 &= 3w^2 -2w(x-y) + x^2 + y^2\\ &= \frac{w^2 - 2w\left(\frac{x-y}{3}\right) + \left(\frac{x-y}{3}\right)^2}{1/3} -\frac 13(x-y)^2 + x^2 + y^2 \end{align}$

2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w)

$2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)$

(3)

$(3)$

\begin{matrix} (4) & f_{X, Y} (x, y) = g (x, y) [P {T \leq - y} + P {0 < T \leq x}] \end{matrix}

$f_{X,Y}(x,y) = g(x,y)\big[P\{T \leq -y\} + P\{0 < T \leq x\}\big] \tag{4}$

T

$T$

\frac{x - y}{3}

$\frac{x-y}{3}$ 和方差。方括号内的两个术语都涉及标准的普通CDF，其参数是和（不同）函数。因此，是不二元正态密度即使两个和是正态随机变量，并且它们的和是一个正常的随机变量。

\frac{1}{3}

$\frac 13$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

x

$x$

y

$y$

f_{X, Y}

$f_{X,Y}$

X

$X$

Y

$Y$

注释：和联合正态性足以满足正态性，但它还意味着更多：对于所有选择都是正态的。在这里，我们只需要对于，即三个选择是正常其中前两个强制执行常被忽略条件（例如，参见的答案），和的（边际）密度必须是正常密度，第三个表示总和也必须具有正常密度。因此，我们可以 $X$ $Y$ $X+Y$ $aX+bY$ $(a,b)$ $aX+bY$ $(a,b)$ $(1,0), (0,1), (1,1)$ $Y.H.$ $X$ $Y$ 具有正常的随机变量，它们不是共同正常的，但其总和是正常的，因为我们不在乎其他选择会发生什么。 $(a,b)$

— 迪利普·萨瓦特（Dilip Sarwate）
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