转换订单统计

假设随机变量和是独立的并且是。证明的分发。 $X_1, ... , X_n$ $Y_1, ..., Y_n$ $U(0,a)$ $Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$ $\text{Exp}(1)$

我通过设置开始了这个问题， $\{X_1,...,X_n,Y_1,...Y_n\} = \{Z_1,...,Z_n\}$ 然后 $\max(Y_n,X_n)= Z_{(2n)}$ 分布为 $(\frac{z}{a})^{2n}$ 而 $\min(Y_n,X_n)= Z_{(1)}$ 分布为 $1 - (1 - \frac{z}{a})^{2n}$ 可以很容易地找到密度，因为 $f_{Z_{1}}(z) = (2n)(1-\frac{z}{a})^{2n-1}\frac{1}{a}$ 和 $f_{Z_{(2n)}}(z) = (2n)(\frac{z}{a})^{2n-1} \frac{1}{a}$

现在，在计算完这些之后，我很难知道下一步要去哪里。我以为它必须进行某种转换，但是我不确定...

self-study data-transformation order-statistics

— 苏珊
source

当然，您还需要假设不仅

X_{i}

$X_i$ 和

Y_{i}

$Y_i$ iid，而且

X_{i}

$X_i$ 都独立于

Y_{j}

$Y_j$ 。鉴于此，您是否考虑过直接使用

\log (Z_{i})

$\log(Z_i)$ ？

— ub

@whuber我从您的评论中想到的是在我解决n * log（Z）的密度的情况下建立一个转换？

_{i}

$_i$

— 苏珊

我做了一些重新格式化（特别是将和转换为和），但是如果您不喜欢它的样子，则可以回滚到以前的版本（通过单击“ edited <x> ago”链接）在您的帖子底部的我的头像上方），然后单击您以前版本上方的“回滚”链接。

l o g

$log$

m i n

$min$

\log

$\log$

min

$\min$

— Glen_b-恢复莫妮卡

苏珊，您似乎对这个问题有误解/误读了。该问题寻求的比分母是指：其中是的最大阶数统计量，而是的最大阶数统计量s。换句话说，寻求min（maxX，maxY），而不是所有和的最小值，因此您不能使用Z技巧展平/组合所有X和Y值。.......

\frac{max (Y_{(n)}, X_{(n)})}{min (Y_{(n)}, X_{(n)})}

$\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$

min (Y_{(n)}, X_{(n)})

$\min(Y_{(n)},X_{(n)})$

Y_{(n)}

$Y_{(n)}$

Y

$Y$

X_{(n)}

$X_{(n)}$

X

$X$

min (Y_{(n)}, X_{(n)})

${\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$

X

$X$

Y

$Y$

— wolfies

无论如何，作为一个单独的问题，没有点（如您所做的那样）计算的密度，也没有计算的密度的原因，因为不同阶的统计信息不是一般独立。要找到的比率，如果要解决这个问题，首先需要找到的联合pdf。在手（不是）。

Z_{(1)}

$Z_{(1)}$

Z_{(2 n)}

$Z_{(2n)}$

Z_{(2 n)} / Z_{(1)}

$Z_{(2n)}/Z_{(1)}$

(Z_{(1)}, Z_{(2 n)})

$(Z_{(1)},Z_{(2n)})$

— 狼人2015年

Answers:

这个问题可以仅通过定义来解决：唯一的高级计算是单项式的积分。

初步观察

让我们通篇使用变量和：这不会更改但是它使 iid具有均匀分布，从而消除了计算中所有分散注意力的出现。因此，我们可以假设而不失一般性。 $X_i/a$ $Y_i/a$ $Z_n$ $(X_1, \ldots, Y_n)$ $(0,1)$ $a$ $a=1$

请注意，的独立性及其均匀分布意味着对于任何数字， $Y_i$ $y$ $0\le y \le 1$

Pr (y \geq Y_{(n)}) = Pr (y \geq Y_{1}, \dots, y \geq Y_{n}) = Pr (y \geq Y_{1}) \dots Pr (y \geq Y_{n}) = y^{n},

$\Pr(y \ge Y_{(n)}) = \Pr(y \ge Y_1 , \ldots, y \ge Y_n) = \Pr(y \ge Y_1)\cdots \Pr(y \ge Y_n) = y^n,$

对于具有相同的结果。供以后参考，这使我们可以计算 $X_{(n)}$

E (2 X_{(n)}^{n}) = \int_{0}^{1} 2 x^{n} d (x^{n}) = \int_{0}^{1} 2 n x^{2 n - 1} d x = 1.

$\mathbb{E}(2X_{(n)}^n) = \int_0^1 2x^n\mathrm{d}(x^n) = \int_0^1 2nx^{2n-1}\mathrm{d}x = 1.$

解

令为正实数。要找到的分布，请替换其定义并简化所得的不等式： $t$ $Z_n$

\begin{aligned} Pr (Z_{n} > t) & = Pr (Z_{n} / n > t / n) = Pr (\exp (Z_{n} / n) > e^{t / n}) \\ = Pr (\frac{max (X_{(n)}, Y_{(n)})}{min (X_{(n)}, Y_{(n)})} > e^{t / n}) \\ = Pr (e^{- t / n} max (X_{(n)}, Y_{(n)}) > min (X_{(n)}, Y_{(n)})) . \end{aligned}

$\eqalign{ \Pr(Z_n \gt t) &= \Pr(Z_n / n \gt t/n) = \Pr\left(\exp(Z_n/n) \gt e^{t/n}\right) \\ &=\Pr\left(\frac{\max(X_{(n)}, Y_{(n)})}{\min(X_{(n)}, Y_{(n)})} \gt e^{t/n}\right) \\ &= \Pr\left(e^{-t/n}{\max(X_{(n)}, Y_{(n)})} \gt {\min(X_{(n)}, Y_{(n)})}\right). }$

根据或是两者中的较小者，此事件分为两个等概率情况（并且它们的交点（概率为零）可以忽略）。因此，我们仅需要计算其中一种情况的机率（例如，其中较小）并加倍。由于，所以，允许我们（让扮演角色的）应用于初步部分中的计算： $X_{(n)}$ $Y_{(n)}$ $Y_{(n)}$ $t\ge 0$ $0 \le e^{-t/n}X_{(n)} \le 1$ $e^{-t/n}X_{(n)}$ $y$

Pr (Z_{n} > t) = 2 Pr (e^{- t / n} X_{(n)} > Y_{(n)}) = 2 E [{(e^{- t / n} X_{(n)})}^{n}] = e^{- t} E [2 X_{(n)}^{n}] = e^{- t} .

$\Pr(Z_n \gt t) =2\Pr\left(e^{-t/n}X_{(n)} \gt {Y_{(n)}}\right) =2 \mathbb{E}\left[\left(e^{-t/n}{X_{(n)}}\right)^n\right] = e^{-t} \mathbb{E}\left[2{X_{(n)}^n}\right] = e^{-t}.$

这就是具有Exp分布的含义。 $Z_n$ $(1)$

— ub
source

我将草拟解决方案，在这里使用计算机代数系统做一些细微的事情...

解

如果是父上大小为的样本，则样本最大值的pdf为：，对于同样。 $X_1, ... , X_n$ $n$ $X \sim \text{Uniform}(0,a)$

f_{n} (x) = \frac{n}{a^{n}} x^{n - 1}

$f_{n}(x) = \frac{n}{a^n} x^{n-1}$

Y

$Y$

方法1：找到的联合pdf $(X_{(n)},Y_{(n)})$

由于和是独立的，所以两个样本最大值的联合pdf 只是两个pdf的乘积，例如： $X$ $Y$ $(X_{(n)},Y_{(n)})$ $f_{(n)}(x,y)$

给定。那么的cdf 为为： $Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$ $Z_n$ $P(Z_n < z)$

我在这里使用mathStatica软件包中的Prob函数让Mathematica自动化。区分cdf wrt产生的pdf，作为标准指数。 $z$ $Z_n$

方法2：订单统计

我们可以使用订单统计信息来“绕过”必须处理最大和最小功能的机制。

再一次：如果是父上大小为的样本，则样本最大的pdf 为，例如，： $X_1, ... , X_n$ $n$ $X \sim \text{Uniform}(0,a)$ $W = X_{(n)}$ $f_n(w)$

样本最大值和只是分布的两个独立图形；即的和阶统计（在2号样本中）正是我们要寻找的： $X_{(n)}$ $Y_{(n)}$ $W$ $1^{st}$ $2^{nd}$ $W$

$W_{(1)} = \min(Y_{(n)},X_{(n)})$
$W_{(2)} = \max(Y_{(n)},X_{(n)})$

的联合pdf 在大小为2的样本（即中为： $(W_{(1)}, W_{(2)})$ $g(.,.)$

给定。那么的cdf 为为： $Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$ $Z_n$ $P(Z_n < z)$

这种方法的优点是概率计算不再涉及最大/最小函数，这可能会使推导（尤其是手工计算）更容易表达。

其他

根据我上面的评论，看来您误解了这个问题...

我们被要求找到：

Z_{n} = n \log \frac{max (Y_{(n)}, X_{(n)})}{min (Y_{(n)}, X_{(n)})}

$Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$

分母是min（xMax，yMax），...不是所有和的最小值。 $X$ $Y$

— 狼人
source

按照您的草图，我了解我对这个问题的理解有误。我知道如何计算两个样本最大值的联合pdf，但是我仍然不确定如何解释最大/最小比率。

— 苏珊2015年

我使用订单统计信息添加了另一种推导，可以“规避”最大/最小。

— 狼人2015年

如果您是从Susan的数据日志开始的，那么您将要查看订单统计数据的差异，而不是比率。

— ub

我不相信使用计算机形式计算是解释该比率为Exp（1）随机变量的原因的最佳方法。

— 西安

好一点……除了OP并没有询问原因……而是表明它是Exp [1]。我也不确定这是否是家庭作业（或一项作业）……这实际上是使用计算机的一个好处：一个提供了后续步骤，验证了结果，以便采用正确的方法，但机制仍然留给OP。有人在开始时探索@whuber的建议日志会很不错。

— 狼人2015年