填充渐近线的数学定义

我正在写一篇使用渐近渐近线的论文，我的一位审稿人要求我提供关于渐进渐近线的严格数学定义（即带有数学符号和符号）。

我似乎在文献中找不到任何内容，希望有人可以将我指向某些人的方向，或者为我提供一个手写的定义。

如果您不熟悉填充渐近线（也称为固定域渐近线），则它们如下：填充渐近线基于观察的结果，随着其数量的增加，在某些固定和有界区域中密度越来越高。

换句话说，填充渐近线是通过在固定域中更密集地采样来收集更多数据的地方。

我已经看过Stein 1999和Cressie 1993，但在那里“数学上”都不严格。

这是我论文引用的段落。

因此，重要的是要认识到我们正在处理的渐近性。在我们的案例中，我们处理的渐近性基于观察结果，随着观察次数的增加，它们在某些固定和有界区域中变得越来越密集。这些类型的渐近线被称为固定域渐近线（Stein，1999）或填充渐近线（Cressie，1993）。填充渐近线通过在固定域中进行更密集的采样来收集更多数据，将在帮助我们发展关于...的论点中发挥关键作用。

重要的是，我正在使用拉丁超立方体抽样来抽样观察。

这是Cressie的书中关于填充渐近线的内容。

asymptotics definition

Cressie的书的第一版（1991）的5.8节“ 填充渐近线”很明显。尽管它没有提供数学符号的定义，但稍后在两页中使用数学符号明确给出了一个示例（“比填充更精细的渐近”）。您能否引用您自己论文对“填充渐近性”的描述？

— ub

@whuber我在原始问题中添加了引号

谢谢。该报价似乎不够具体。确切地说，您如何进行固定域采样？一个示例（由Cressie提供）是：对一个点进行采样，然后永远在围绕另一个点的群集中进行采样。例如，与采用均匀泊松过程进行采样相比，这可能具有不同的渐近行为。

— ub

@whuber我正在使用拉丁文hypercube示例。

请在您的问题中包括该信息，因为这对于回答至关重要。

— ub

Answers:

填充渐近线的定义不是特别有用（从技术上讲，如果域保持固定且样本量增加，则是填充渐近线。但是请考虑在0到1的样线上进行采样的情况，以0/1 /的一个样本进行采样2，另一个样本在1 / 2、3 / 4中，另一个在区间3 / 4、7 / 8中，依此类推。您将能够对1处的值说很多，但不会说太多其他。）

$\epsilon$ $\epsilon>0$ $n\rightarrow\infty$

有时，未明确给出填充信息，仅给出了设计。例如，在Lahiri的论文（关于“填充渐近线下基于空间数据的估计量的不一致性”）中，他描述了一种设计，该设计本质上是一个“抖动的”网格（某些随机性为小级别，但通常基于超矩形中的采样子区域）在固定域中渐近密集。他获得了大多数变异函数参数估计不一致的结果（常见于填充问题）。

Lahiri，Lee和Cressie（关于空间变异函数参数的最小二乘估计的渐近分布和渐近效率，J.StatPlanInf 2002，第103卷，第65-85页）类似地考虑了填充网格，这些网格变得系统地更紧密地间隔开来，从而产生密集的样本。

（对于密集样本的一般结果是，由于填充渐近性确实是空间过程的单一实现，因此可以一致地估计（超总体）真实变异函数的唯一参数是零斜率，但是预测越来越好。）

— 阿拉斯加·罗恩
source

您知道如何证明这一说法吗？“对于区域all的所有子区域，对于任何ϵ> 0，在该子区域中出现样本的概率接近1，即n→∞。这种样本在域中是密集的。”

ϵ

$\epsilon$

您是否知道有任何论文说拉丁超立方体的渐近密度？

让我们从拉丁文Hypercube采样的定义开始，只是为了使事情变得完全清楚并建立一种表示法。然后我们可以定义填充渐近线。

LHS

$\mathcal{B}=[l_1,u_1)\times [l_2,u_2)\times \cdots [l_d,u_d) \subset \mathbb{R}^d$ $N \ge 1$ $\delta_i(N) = (u_i-l_i)/N$ $N^d$

c_{N} (i_{1}, i_{2}, \dots, i_{d}) = [l_{1} + i_{1} δ_{1} (N), l_{1} + (i_{1} + 1) δ_{1} (N)) \times \dots [l_{d} + i_{d} δ_{d} (N), l_{d} + (i_{d} + 1) δ_{d} (N)),

$c_N(i_1,i_2,\ldots, i_d) = [l_1 + i_1\delta_1(N), l_1 + (i_1+1)\delta_1(N))\times \cdots [l_d + i_d\delta_d(N), l_d + (i_d+1)\delta_d(N)),$

$0 \le i_j \lt N$ $j$

$N$ $S=\{c_N(i_1^1, \ldots, i_d^1), \ldots, c_N(i_1^N, \ldots, i_d^N)\}$

{i_{j}^{1}, i_{j}^{2}, \dots, i_{j}^{N}} = {1, 2, \dots, N}, j = 1, 2, \dots, d .

$\{i_j^1, i_j^2, \ldots, i_j^N\}=\{1, 2, \ldots, N\},\ j=1, 2, \ldots, d.$

$d$ $2$ $N$ $S$ $N$

X (N) = {(Z_{1}^{N}, Y_{1}^{N}), \dots, (Z_{N}^{N}, Y_{N}^{N})}

$X(N)=\{(Z_1^N,Y_1^N), \ldots, (Z_N^N,Y_N^N)\}$ （位置，观察）值。

填充渐近线

$t_N$ $X(N)$ $N$ $\mathcal{B}$ $t_N(X(N))$ $N$

t_{1} (X (1)), t_{2} (X (2)), \dots, t_{N} (X (N)), \dots

$t_1(X(1)), t_2(X(2)), \ldots, t_N(X(N)), \ldots$

$N$

— ub
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