完整的概率分布集合的拓扑

我一直在努力使我对概率分布的直观理解与几乎所有概率分布拓扑都具有的怪异属性相协调。

例如，考虑一个混合随机变量：选择一个以0为中心，方差为1且概率为的高斯，将加到结果中。此类随机变量的序列将收敛（微弱且总变化）为以0为中心且方差为1的高斯，但的均值始终为，方差收敛为。我真的不喜欢说这个序列因此而收敛。 $X_n$ $\frac{1}{n}$ $n$ $X_n$ $1$ $+\infty$

我花了相当长的时间来记住所有关于拓扑遗忘的内容，但最终我弄清楚了这些示例令我感到不满意的是：序列的限制不是常规分布。在上面的示例中，限制为怪异的“均值1和无穷方差的高斯”。用拓扑学的术语来说，在弱者（以及电视以及我看过的所有其他拓扑学）下，概率分布集并不完整。

然后，我面临以下问题：

是否存在拓扑结构使得概率分布集合完整？
如果否，那么这种缺失是否反映了概率分布集合的有趣特性？还是只是无聊？

注意：我已对“概率分布”提出了自己的问题。这些不能关闭，因为它们可以收敛到Diracs和类似没有pdf的东西。但是在薄弱的拓扑结构下仍然没有采取措施，所以我的问题仍然存在

交叉发布到mathoverflow /mathpro/226339/topologies-for-which-the-ensemble-of-probability-measures-is-complete?noredirect=1#comment558738_226339

— 纪尧姆·德海恩（Guillaume Dehaene）
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您发现所有概率分布的集合不是很紧凑。我认为紧凑是您需要的词，而不是完整性。在这种情况下，紧密度的相关概念通常称为紧密度。例如，见 stats.stackexchange.com/questions/180139/...

— HALVORSEN的Kjetil b

@kjetilbhalvorsen我认为这是precompact而不是紧凑由于Skorohod的定理。

— Henry.L

给出的示例到底有什么问题？（微弱的说）收敛并不意味着瞬间的收敛吗？为什么要这样这与完整性有什么关系（给定示例中存在限制）？

— 迈克尔

从更狭窄的统计角度看问题（一般的数学拓扑问题是有效的），矩序列可能不收敛到极限分布的矩这一事实是众所周知的现象。原则上，这不会自动使人怀疑该序列是否存在行为良好的限制分布。

上述序列的极限分布是具有有限矩的行为良好的分布。这是不收敛的时刻序列。但这是一个不同的顺序，一个由我们的随机变量的函数（积分，密度等）组成的序列，而不是我们感兴趣的其极限分布的随机变量本身的序列。 $\{X_n + n Bern(1/n)\}$ $N(0,1)$

— 阿莱科斯·帕帕多普洛斯
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这如何回答这个问题？

— ub

@whuber好吧，我的回答是说，是否存在OP所要求的拓扑结构，从统计角度来看并没有太大区别。

— Alecos Papadopoulos