如何从非负整数的离散分布中采样？

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我有以下离散分布，其中是已知常数： $\alpha,\beta$

p (x; α, β) = \frac{Beta (α + 1, β + x)}{Beta (α, β)} for x = 0, 1, 2, \dots

$p(x;\alpha,\beta) = \frac{\text{Beta}(\alpha+1, \beta+x)}{\text{Beta}(\alpha,\beta)} \;\;\;\;\text{for } x = 0,1,2,\dots$

有什么方法可以有效地从这种分布中采样？

— II
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这是Beta负二项分布，在您的情况下使用Wikipedia表示法，参数。当为整数时，它也称为Beta-Pascal分布。正如您在评论中指出的那样，这是贝叶斯负二项式模型中的预测分布，其成功概率先于共轭Beta。 $r=1$ $r$

因此，您可以通过对变量进行采样，然后对负二项式变量进行采样（在您的情况下，进行采样说几何分布）。 $\text{Beta}(\alpha,\beta)$ $u$ $\text{NB}(r,u)$ $r=1$

此分发在R包中实现brr。采样器具有名称rbeta_nbinom，pmf具有名称dbeta_nbinom，等等。符号为，，。校验： $a=r$ $c=\alpha$ $d=\beta$

> Alpha <- 2; Beta <- 3
> a <- 1
> all.equal(brr::dbeta_nbinom(0:10, a, Alpha, Beta), beta(Alpha+a, Beta+0:10)/beta(Alpha,Beta))
[1] TRUE

查看代码，您可以看到它实际上称为程序包ghyper分布的（广义超几何）族SuppDists：

brr::rbeta_nbinom
function(n, a, c, d){
  rghyper(n, -d, -a, c-1)
}

实际上，BNB分布被称为IV型广义超几何分布。请参阅帮助ghyper的SuppDists包。我相信这也可以在Johnson＆al的书Univariate Discrete Distributions中找到。

— 斯特凡·洛朗（StéphaneLaurent）
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这个答案很好，但是如果您证明发布的密度OP与负二项式密度相同，那就更好了。

— Sycorax说，恢复莫妮卡

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@ user777我认为OP的作者已经证明了这一点，因为他评论了Xian的答案（在负二项式模型中具有先验共轭Beta的后预测分布）。

— 斯特凡·洛朗

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鉴于是随的话，建议生成均匀变量和计算的累积总和

\frac{贝塔 （ α + 1个 ， β + X ）}{贝塔 （ α ， β ）} = \frac{α}{α + β + X} \frac{β + X - 1个}{α + β + X - 1个} \dots \frac{β}{α + β}

$\frac{\text{Beta}(\alpha+1, \beta+x)}{\text{Beta}(\alpha,\beta)}=\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta+x}\dfrac{\beta+x-1}{\alpha+\beta+x-1}\cdots\dfrac{\beta}{\alpha+\beta}$

x

$x$

u \sim U (0, 1)

$u\sim\mathcal{U}(0,1)$

直到

然后，实现等于相应的

。由于

{小号}_{ķ} = \sum_{X = 0}^{ķ} \frac{贝塔 （ α + 1个 ， β + X ）}{贝塔 （ α ， β ）}

$S_k=\sum_{x=0}^k \frac{\text{Beta}(\alpha+1, \beta+x)}{\text{Beta}(\alpha,\beta)}$

{小号}_{ķ} > ü

$S_k>u$

k

$k$

和

计算可以避免完全使用Gamma函数。

\begin{aligned} {[R}_{X} & = \frac{贝塔 （ α + 1个 ， β + X ）}{贝塔 （ α ， β ）} \\ = \frac{α}{α + β + X} \frac{β + X - 1个}{α + β + X - 1个} \dots \frac{β}{α + β} \\ = \frac{α + β + X - 1个}{α + β + X} \frac{β + X - 1个}{α + β + X - 1个} {[R}_{X - 1个} \\ = \frac{β + X - 1个}{α + β + X} {[R}_{X - 1个} \end{aligned}

$\eqalign{R_x&=\frac{\text{Beta}(\alpha+1, \beta+x)}{\text{Beta}(\alpha,\beta)}\\&=\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta+x}\dfrac{\beta+x-1}{\alpha+\beta+x-1}\cdots\dfrac{\beta}{\alpha+\beta}\\&=\frac{\alpha+\beta+x-1}{\alpha+\beta+x}\frac{\beta+x-1}{\alpha+\beta+x-1}R_{x-1}\\&=\frac{\beta+x-1}{\alpha+\beta+x}R_{x-1}}$

{小号}_{ķ} = {小号}_{ķ} - 1个 + {[R}_{ķ}

$S_k=S_k-1+R_k$

— 西安
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S_{k} = 1 - \frac{Γ (a + b) Γ (b + k + 1)}{Γ (b) Γ (a + b + k + 1)}

$S_k = 1-\frac{\Gamma (a+b) \Gamma (b+k+1)}{\Gamma (b) \Gamma (a+b+k+1)}$

1

k

$k$

u

$u$

α

$\alpha$

β

$\beta$

u

$u$

Γ (b + k + 1)

$\Gamma(b+k+1)$

Γ (a + b + k + 1)

$\Gamma(a+b+k+1)$

α

$\alpha$

β

$\beta$ 都是整数，则解决方案是多项式的根-但即使如此，使用Gamma仍然可能是解决方法。

— ub

1

p

$p$