间距与样本均值的比率分布是多少？

令 $X_1,\dots,X_n$ 为均值为的iid指数随机变量的样本 $\beta$ ，令 $X_{(1)},\dots,X_{(n)}$ 为该样本的阶数统计量。让 $\bar X = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ 。

限定间隔

W_{i} = X_{(i + 1)} - X_{(i)} \forall 1 \leq i \leq n - 1 .

$W_i=X_{(i+1)}-X_{(i)}\ \forall\ 1 \leq i \leq n-1\,.$ 可以示出，每个

W_{i}

$W_i$ 还指数，平均

β_{i} = \frac{β}{n - i}

$\beta_i=\frac{\beta}{n-i}$ 。

问题：如何找到 $\mathbb{P}\left( \frac{W_i}{\bar X} > t \right)$ ，其中 $t$ 是已知的并且非负？

尝试：我知道，这是等于 $1 - F_{W_i}\left(t \bar X\right)$ 。因此，我使用的总概率的法如下所示：

P (W_{i} > t \bar{X}) = 1 - F_{W_{i}} (t \bar{X}) = 1 - \int_{0}^{\infty} F_{W_{i}} (t s) f_{\bar{X}} (s) d s,

$\mathbb{P}\left( W_i > t \bar X \right) = 1 - F_{W_i}\left( t \bar X \right) = 1 - \int_0^\infty F_{W_i}(ts)f_{\bar X}(s) \mathrm{d}s \,,$

变成一团糟，但我认为它是易处理的积分。

我在这里吗？这是对总概率定律的有效使用吗？

另一种方法可能是看差分布：

P (W_{i} - t \bar{X} > 0)

$\mathbb{P}\left( W_i - t \bar X > 0\right)$

甚至掰开和：

P (W_{i} - Ť \bar{X} > 0 ） = P （ （ X_{（ 一世 + 1个 ）} - X_{（ 一世 ）} ） + \frac{Ť}{ñ} （ X_{（ 1个 ）} + \dots + X_{（ ñ ）} ） ）

$\mathbb{P}\left( W_i - t \bar X > 0 \right) = P \left( \left(X_{(i+1)} - X_{(i)}\right) + \frac{t}{n}\left(X_{(1)} + \dots + X_{(n)} \right) \right)$

指数情况的解决方案将是不错的选择，但更好的办法是对分布进行某种通用约束。或者至少是它的时刻，这足以使我产生切比雪夫和马尔可夫不等式。

更新：这里是从第一个方法积分：

\begin{aligned} 1个 - \int_{0}^{\infty} （ 1个 - 经验值 （ - \frac{Ť s}{β_{一世}} ） ） （ \frac{1个}{Γ （ ñ ） β^{ñ}} s^{ñ - 1个} 经验值 （ - β s ） ） d s \\ 1个 - \int_{0}^{\infty} （ 1个 - 经验值 （ - \frac{（ ñ - 一世 ） Ť s}{β} ） ） （ \frac{1个}{Γ （ ñ ） β^{ñ}} s^{ñ - 1个} 经验值 （ - β s ） ） d s \end{aligned}

$\begin{align} 1 - \int_0^\infty \left( 1 - \exp \left( -\frac{ts}{\beta_i} \right) \right) \left( \frac{1}{\Gamma(n)\beta^n} s^{n-1} \exp \left( -\beta s \right) \right) \mathrm{d}s \\ 1 - \int_0^\infty \left( 1 - \exp \left( -\frac{(n-i)ts}{\beta} \right) \right) \left( \frac{1}{\Gamma(n)\beta^n} s^{n-1} \exp \left( -\beta s \right) \right) \mathrm{d}s \end{align}$

我已经玩了一段时间了，我不确定该去哪里。

— 暗语者
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分配括号项后，获得的积分看起来相对简单。更改变量后，您将获得一些伽玛函数。

— Alex R.

@AlexR确实可以，但是经过一半之后，我开始怀疑它不会限制在0到1之间。我更多地是在寻找确认是否正确设置了问题。如果我对积分本身不满意，我会问Math.SE

— shadowtalker

您在这里遇到的困难是，您有一个与非独立随机变量有关的事件。可以通过处理事件来简化并解决问题，以便比较独立的增量。要做到这一点，我们首先注意到，对于中，每个顺序统计的可写为： $X_1, ..., X_N \sim \text{IID Exp}(\beta)$

X_{（ ķ ）} = β \sum_{一世 = 1个}^{ķ} \frac{ž_{一世}}{ñ - 一世 + 1个} ，

$X_{(k)} = \beta \sum_{i=1}^{k} \frac{Z_i}{n-i+1},$

其中（参见例如，1953年仁义，David和2003纳加拉贾）。这使我们能够写出，我们可以写出样本均值为： $Z_1, Z_2, ..., Z_n \sim \text{IID Exp} (1)$ $W_k = \beta Z_{k+1} / (n-k)$

\begin{aligned} \bar{X} \equiv \frac{β}{ñ} \sum_{ķ = 1个}^{ñ} X_{（ ķ ）} & = \frac{β}{ñ} \sum_{ķ = 1个}^{ñ} \sum_{一世 = 1个}^{ķ} \frac{ž_{一世}}{ñ - 一世 + 1个} \\ = \frac{β}{ñ} \sum_{一世 = 1个}^{ñ} \sum_{ķ = 一世}^{ñ} \frac{ž_{一世}}{ñ - 一世 + 1个} \\ = \frac{β}{ñ} \sum_{一世 = 1个}^{ñ} ž_{一世} 。 \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \bar{X} \equiv \frac{\beta }{n} \sum_{k=1}^n X_{(k)} &= \frac{\beta }{n} \sum_{k=1}^n \sum_{i=1}^k \frac{Z_i}{n-i+1} \\ &= \frac{\beta }{n} \sum_{i=1}^n \sum_{k=i}^n \frac{Z_i}{n-i+1} \\ &= \frac{\beta }{n} \sum_{i=1}^n Z_i. \end{aligned} \end{equation}$

为了便于分析，我们定义数量：

一个 \equiv \frac{Ť （ ñ - ķ ）}{ñ - Ť （ ñ - ķ ）} 。

$a \equiv \frac{t(n-k)}{n-t(n-k)}.$

对于，我们则有： $a > 0$

\begin{aligned} P （ {w ^}_{ķ} ⩾ Ť \bar{X} ） & = P （ \frac{ž_{ķ + 1个}}{ñ - ķ} ⩾ \frac{Ť}{ñ} \sum_{一世 = 1个}^{ñ} ž_{一世} ） \\ = P （ \frac{ñ}{ñ - ķ} \cdot ž_{ķ + 1个} ⩾ Ť \sum_{一世 = 1个}^{ķ} ž_{一世} ） \\ = P （ （ \frac{ñ}{ñ - ķ} - Ť ） ž_{ķ + 1个} ⩾ Ť \sum_{一世 \neq ķ} ž_{一世} ） \\ = P （ （ \frac{ñ}{ñ - ķ} - Ť ） ž ⩾ Ť G ） = P （ ž ⩾ 一个 G ） ， \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{P}(W_k \geqslant t \bar{X}) &= \mathbb{P} \left( \frac{Z_{k+1}}{n-k} \geqslant \frac{t}{n} \sum_{i=1}^n Z_i \right) \\ &= \mathbb{P} \left( \frac{n}{n-k} \cdot Z_{k+1} \geqslant t \sum_{i = 1}^k Z_i \right) \\ &= \mathbb{P} \left( \left( \frac{n}{n-k} - t \right) Z_{k+1} \geqslant t \sum_{i \neq k} Z_i \right) \\ &= \mathbb{P} \left( \left( \frac{n}{n-k} - t \right) Z \geqslant t G \right) = \mathbb{P} \left( Z \geqslant a G \right), \end{aligned} \end{equation}$

$Z \sim \text{Exp} (1)$ $G \sim \text{Ga}(n-1, 1)$ $t \geqslant n / (n-k)$ $\mathbb{P}(W_k \geqslant t \bar{X}) = 0$ $t < n / (n-k)$ $a>0$

\begin{aligned} P （ {w ^}_{ķ} ⩾ Ť \bar{X} ） & = \int_{0}^{\infty} 嘎 （ G | ñ - 1个 ， 1个 ） \int_{一个 G}^{\infty} 经验值 （ ž | 1个 ） d ž d G \\ = \int_{0}^{\infty} \frac{1个}{Γ （ ñ - 1个 ）} G^{ñ - 2} 经验值 （ - G ） \int_{一个 G}^{\infty} 经验值 （ - ž ） d ž d G \\ = \int_{0}^{\infty} \frac{1个}{Γ （ ñ - 1个 ）} G^{ñ - 2} 经验值 （ - G ） （ 1个 - 经验值 （ 一个 G ） ） d G \\ = \int_{0}^{\infty} \frac{1个}{Γ （ ñ - 1个 ）} G^{ñ - 2} 经验值 （ - G ） d G - \int_{0}^{\infty} \frac{1个}{Γ （ ñ - 1个 ）} G^{ñ - 2} 经验值 （ - （ 一个 + 1个 ） G ） d G \\ = 1个 - （ 一个 + 1个 ）^{- （ ñ - 1个 ）} \\ = 1个 - {（ 1个 - \frac{ñ - ķ}{ñ} \cdot Ť ）}^{ñ - 1个} 。 \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{P}(W_k \geqslant t \bar{X}) &= \int\limits_0^\infty \text{Ga} (g| n-1, 1 ) \int\limits_{ag}^\infty \text{Exp}(z|1) dz dg \\ &= \int\limits_0^\infty \frac{1}{\Gamma{(n-1)}} g^{n-2} \exp{(-g)} \int\limits_{ag}^\infty \exp{(-z)} dz dg \\ &= \int\limits_0^\infty \frac{1}{\Gamma{(n-1)}} g^{n-2} \exp{(-g)} \left( 1 - \exp (ag) \right) dg \\ &= \int\limits_0^\infty \frac{1}{\Gamma{(n-1)}} g^{n-2} \exp{(-g)} dg - \int\limits_0^\infty \frac{1}{\Gamma{(n-1)}} g^{n-2} \exp{(-(a+1)g)} dg \\ &= 1 - (a+1)^{-(n-1)} \\ &= 1 - \left( 1- \frac{n-k}{n} \cdot t \right)^{n-1}. \end{aligned} \end{equation}$

$t$ $t=0$ $t = \frac{n}{n-k}$

— Ben-恢复莫妮卡
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