Iid Gumbel变量最大值的期望


12

我一直在经济学期刊上阅读随机效用模型中使用的特定结果。结果的一种版本是:如果 Gumbel(,则:ϵiiid,μ,1),i

E[maxi(δi+ϵi)]=μ+γ+ln(iexp{δi}),

其中γ0.52277是Euler-Mascheroni常数。我检查了使用R是否有意义,并且确实如此。Gumbel (μ,1)分布的CDF为:

G(ϵi)=exp(exp((ϵiμ)))

我正在尝试证明这一点,但没有成功。我已经尝试过证明自己,但是我无法走过某个特定的步骤。

谁能指出我对此的证明?如果没有,也许我可以将尝试的证据发布到卡住的地方。


Answers:


7

我感谢您回答中展示的工作:感谢您的贡献。这篇文章的目的是提供一个更简单的演示。简单的价值在于启示:我们可以轻松获得最大值的整个分布,而不仅仅是其期望值。


通过将吸收到并假定全部具有Gumbel分布来忽略。(也就是说,将每个替换为并将更改为。)这不会更改随机变量μδiϵi(0,1)ϵiϵiμδiδi+μ

X=maxi(δi+ϵi)=maxi((δi+μ)+(ϵiμ)).

的独立性意味着所有真正的是是个别机会的产品。取对数并应用指数收益率的基本属性ϵixPr(Xx)Pr(δi+ϵix)

logPr(Xx)=logiPr(δi+ϵix)=ilogPr(ϵixδi)=ieδiex=exp(x+logieδi).

这是位置参数为的Gumbel分布的CDF的对数 那是,λ=logieδi.

X具有Gumbel分布。(logieδi,1)

这是比要求更多的信息。的平均值这样的分布的是将会导致γ+λ,

E[X]=γ+logieδi,

QED。


12

事实证明,肯尼思· 史密斯(Kenneth Small)和哈维·罗森(Harvey Rosen)的《计量经济学》文章在1981年证明了这一点,但是在非常专业的背景下,结果需要大量挖掘,更不用说进行经济学培训了。我决定以一种我认为更容易获得的方式来证明这一点。

证明:令为替代数。根据向量,函数具有不同的值。首先,关注的值,以使。也就是说,我们将集成到集合:Jϵ={ϵ1,...,ϵJ}maxi(δi+ϵi)ϵmaxi(δi+ϵi)=δ1+ϵ1δ1+ϵ1M1{ϵ:δ1+ϵ1>δj+ϵj,j1}

EϵM1[maxi(δi+ϵi)]=(δ1+ϵ1)f(ϵ1)[δ1+ϵ1δ2...δ1+ϵ1δJf(ϵ2)...f(ϵJ)dϵ2...dϵJ]dϵ1=(δ1+ϵ1)f(ϵ1)(δ1+ϵ1δ2f(ϵ2)dϵ2)...(δ1+ϵ1δJf(ϵJ)dϵJ)dϵ1=(δ1+ϵ1)f(ϵ1)F(δ1+ϵ1δ2)...F(δ1+ϵ1δJ)dϵ1

上面的术语是中此类术语的第一个。特别,JE[maxi(δi+ϵi)]

E[maxi(δi+ϵi)]=iEϵMi[maxi(δi+ϵi)].

现在,我们应用Gumbel分布的函数形式。这给

EϵMi[maxi(δi+ϵi)]=(δi+ϵi)eμϵieeμϵijieeμϵi+δjδidϵi=(δi+ϵi)eμϵijeeμϵi+δjδidϵi=(δi+ϵi)eμϵiexp{jeμϵi+δjδi}dϵi=(δi+ϵi)eμϵiexp{eμϵijeδjδi}dϵi

其中第二步来自将幂项之一收集到乘积中,以及如果的事实。δjδi=0i=j

现在我们定义,然后使替换,使 and。注意,随着接近无穷大,接近0,并且随着接近负无穷大,接近无穷大。 Dijeδjδix=Dieμϵidx=DieμϵidϵidxDi=eμϵidϵiϵi=μlog(xDi)ϵixϵix

EϵMi[maxi(δi+ϵi)]=0(δi+μlog[xDi])(1Di)exp{x}dx=1Di0(δi+μlog[xDi])exdx=δi+μDi0exdx1Di0log[x]exdx+log[Di]Di0exdx

伽玛函数定义为。对于的正整数值,它等效于,因此。此外,已知欧拉-常数满足Γ(t)=0xt1exdxtΓ(t)=(t1)!Γ(1)=0!=1γ0.57722

γ=0log[x]exdx.

应用这些事实可以得出

EϵMi[maxi(δi+ϵi)]=δi+μ+γ+log[Di]Di

然后,我们总结了得到i

E[maxi(δi+ϵi)]=iδi+μ+γ+log[Di]Di

回想一下。注意,熟悉的logit选择概率是的倒数,或者说。还要注意。那我们有Di=jeδjδi=jeδjeδiPi=eδijδjDiPi=1/DiiPi=1

E[maxi(δi+ϵi)]=iPi(δi+μ+γ+log[Di])=(μ+γ)iPi+iPiδi+iPilog[Di]=μ+γ+iPiδi+iPilog[jeδjeδi]=μ+γ+iPiδi+iPilog[jeδj]iPilog[eδi]=μ+γ+iPiδi+log[jeδj]iPiiPiδi=μ+γ+log[jexp{δj}].
QED

3
我链接了我认为是您所指的文章,但并没有真正地查看它以确保确定。如果有误,请更正。
Dougal

@Jason你知道当最大条件是最大条件时如何证明这是什么吗?请参阅此处尚未解决的问题:stats.stackexchange.com/questions/260847/…–
wolfsatthedoor
By using our site, you acknowledge that you have read and understand our Cookie Policy and Privacy Policy.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.