事实证明,肯尼思· 史密斯(Kenneth Small)和哈维·罗森(Harvey Rosen)的《计量经济学》文章在1981年证明了这一点,但是在非常专业的背景下,结果需要大量挖掘,更不用说进行经济学培训了。我决定以一种我认为更容易获得的方式来证明这一点。
证明:令为替代数。根据向量,函数具有不同的值。首先,关注的值,以使。也就是说,我们将集成到集合:Jϵ={ϵ1,...,ϵJ}maxi(δi+ϵi)ϵmaxi(δi+ϵi)=δ1+ϵ1δ1+ϵ1M1≡{ϵ:δ1+ϵ1>δj+ϵj,j≠1}
Eϵ∈M1[maxi(δi+ϵi)]=∫∞−∞(δ1+ϵ1)f(ϵ1)[∫δ1+ϵ1−δ2−∞...∫δ1+ϵ1−δJ−∞f(ϵ2)...f(ϵJ)dϵ2...dϵJ]dϵ1=∫∞−∞(δ1+ϵ1)f(ϵ1)(∫δ1+ϵ1−δ2−∞f(ϵ2)dϵ2)...(∫δ1+ϵ1−δJ−∞f(ϵJ)dϵJ)dϵ1=∫∞−∞(δ1+ϵ1)f(ϵ1)F(δ1+ϵ1−δ2)...F(δ1+ϵ1−δJ)dϵ1
上面的术语是中此类术语的第一个。特别,JE[maxi(δi+ϵi)]
E[maxi(δi+ϵi)]=∑iEϵ∈Mi[maxi(δi+ϵi)].
现在,我们应用Gumbel分布的函数形式。这给
===Eϵ∈Mi[maxi(δi+ϵi)]=∫∞−∞(δi+ϵi)eμ−ϵie−eμ−ϵi∏j≠ie−eμ−ϵi+δj−δidϵi∫∞−∞(δi+ϵi)eμ−ϵi∏je−eμ−ϵi+δj−δidϵi∫∞−∞(δi+ϵi)eμ−ϵiexp{∑j−eμ−ϵi+δj−δi}dϵi∫∞−∞(δi+ϵi)eμ−ϵiexp{−eμ−ϵi∑jeδj−δi}dϵi
其中第二步来自将幂项之一收集到乘积中,以及如果的事实。δj−δi=0i=j
现在我们定义,然后使替换,使 and。注意,随着接近无穷大,接近0,并且随着接近负无穷大,接近无穷大。 Di≡∑jeδj−δix=Dieμ−ϵidx=−Dieμ−ϵidϵi⇒−dxDi=eμ−ϵidϵiϵi=μ−log(xDi)ϵixϵix
==Eϵ∈Mi[maxi(δi+ϵi)]=∫0∞(δi+μ−log[xDi])(−1Di)exp{−x}dx1Di∫∞0(δi+μ−log[xDi])e−xdxδi+μDi∫∞0e−xdx−1Di∫∞0log[x]e−xdx+log[Di]Di∫∞0e−xdx
伽玛函数定义为。对于的正整数值,它等效于,因此。此外,已知欧拉-常数满足Γ(t)=∫∞0xt−1e−xdxtΓ(t)=(t−1)!Γ(1)=0!=1γ≈0.57722
γ=−∫∞0log[x]e−xdx.
应用这些事实可以得出
Eϵ∈Mi[maxi(δi+ϵi)]=δi+μ+γ+log[Di]Di
然后,我们总结了得到i
E[maxi(δi+ϵi)]=∑iδi+μ+γ+log[Di]Di
回想一下。注意,熟悉的logit选择概率是的倒数,或者说。还要注意。那我们有Di=∑jeδj−δi=∑jeδjeδiPi=eδi∑jδjDiPi=1/Di∑iPi=1
E[maxi(δi+ϵi)]======∑iPi(δi+μ+γ+log[Di])(μ+γ)∑iPi+∑iPiδi+∑iPilog[Di]μ+γ+∑iPiδi+∑iPilog[∑jeδjeδi]μ+γ+∑iPiδi+∑iPilog[∑jeδj]−∑iPilog[eδi]μ+γ+∑iPiδi+log[∑jeδj]∑iPi−∑iPiδiμ+γ+log[∑jexp{δj}].
QED