平面或更高阶空间上的样本中位数是否存在公认的定义？

如果是这样，该怎么办？如果没有，为什么不呢？

对于在线样品，中位数使总绝对偏差最小。将定义扩展到R2等似乎很自然，但我从未见过。但是后来，我已经离开了很久了。

我不确定多元中位数是否有一个公认的定义。我熟悉的一个是Oja的中点，它使在点子集上形成的单纯形的总和最小化。（有关技术定义，请参见链接。）

更新：上面的Oja定义引用的站点也有一篇不错的论文，涵盖了多元中位数的许多定义：

• 数据深度的几何度量

$\mathbb{R}^d$

• $P_n(A)$$A$$\mathbb{A}$$\mathbb{R}^d$$\lambda$

  $U_n(t)=\inf (\lambda(A) : P_n(A)\geq t A\in\mathbb{A})$

  假设您可以找到一个来给您最小值。然后，将得足够小时，集合（或集合中的元素）会给出中值。使用 和可以恢复中值的定义。ARS答案落入该框架我想... Tukey的半空间位置可以使用获得和 （其中，）。$A_{t}$$A_{1/2-\epsilon}\cap A_{1/2+\epsilon}$$\epsilon$$\mathbb{A}=(]-\infty,x] x\in\mathbb{R})$$\lambda(]-\infty,x])=x$$\mathbb{A}(a)=( H_{x}=(t\in \mathbb{R}^d :\; \langle a, t \rangle \leq x )$$\lambda(H_{x})=x$$x\in \mathbb{R}$$a\in\mathbb{R}^d$

• 变的定义和M-估计 这里的想法是， -quantile的随机变量的在可通过变平等来定义。$\alpha$$Q_{\alpha}$$Y$$\mathbb{R}$

  • 最常见的定义是使用分位数回归函数 （也称为弹球损失，猜猜为什么吗？） 。的情况为并且您可以使用@ Srikant Answer中的距离将其推广到更高的维度。这是理论上的中位数，但是如果您将期望值替换为经验上的期望值（均值），则会为您提供经验值的中间值。$\rho_{\alpha}$$Q_{\alpha}=arg\inf_{x\in \mathbb{R}}\mathbb{E}[\rho_{\alpha}(Y-x)]$$\alpha=1/2$$\rho_{1/2}(y)=|y|$$l^1$

  • 但是Kolshinskii提议使用Legendre-Fenchel变换：由于 ，其中为。他给出了很多深层原因（请参阅论文；）。将其推广到更高的维度需要使用矢量并将替换为但是您可以采用。˚F （小号）= $Q_{\alpha}=Arg\sup_s (s\alpha-f(s))$小号∈[Rα小号α⟨小号，α⟩α=（1/2，...，1/2$f(s)=\frac{1}{2}\mathbb{E} [|s-Y|-|Y|+s]$$s\in \mathbb{R}$$\alpha$$s\alpha$$\langle s,\alpha\rangle$$\alpha=(1/2,\dots,1/2)$

• 偏序您可以在创建偏序（具有等效类）后立即在概括分位数的定义。$\mathbb{R}^d$

显然，不同配方之间存在桥梁。它们并不都是显而易见的...

有多种方法可以将中位数概念推广到更高维度。尚未提及，但很久以前就提出来的建议是，构造一个凸包，将其剥离，并尽可能地进行迭代：最后一个包中剩下的是一组点，所有这些点都可以作为“中位数。”

“头撞”是另一种较新的尝试（约于1980年），目的是构建到2D点云的鲁棒中心。（链接指向美国国家癌症研究所提供的文档和软件。）

有多种不同的概括且没有一个明显的解决方案的主要原因是R1可以排序，但R2，R3，...不能排序。

几何中值是距样本的平均欧洲距离最小的点

使用Struyf和Rousseeuw的算法DEEPLOC可将Tukey半空间中值扩展到大于2维。详情请参阅这里。

该算法用于有效地估计最大深度的点。试图精确地确定这一点的幼稚方法通常与“维数诅咒”（的计算版本）相违背，其中计算统计量所需的运行时间随空间维数成指数增长。

对于单峰分布，最接近它的定义是tukey半空间中位数

• http://cgm.cs.mcgill.ca/~athens/Geometric-Estimators/halfspace.html
• http://www.isical.ac.in/~statmath/html/publication/Tukey_tech_rep.pdf
• https://www.isical.ac.in/~statmath/report/11310-15.pdf

$R^2$

$X$$Y$

$m_x$$m_y$

$f(x,y)$

$R^2$$m_x$$m_y$

$E(|(x,y) - (m_x,m_y)|$

现在的问题是，我们需要定义我们的意思：

$|(x,y) - (m_x,m_y)|$

在某种意义上，以上是距离度量，并且可能有几种可能的候选定义。

欧几里得度量

$|(x,y) - (m_x,m_y)| = \sqrt{(x-m_x)^2 + (y-m_y)^2}$

$f(x,y)$

计程车指标

$|(x,y) - (m_x,m_y)| = |x-m_x| + |y-m_y|$

$X$$Y$$x$$y$