何时使用Wilcoxon秩和检验代替未配对的t检验？

这是弗兰克·哈雷尔（Frank Harrell）在这里写的后续问题：

以我的经验，准确的t分布所需的样本大小通常大于手头的样本大小。正如您所说，Wilcoxon符号秩检验非常高效，而且功能强大，因此我几乎总是喜欢它而不是t检验

如果我理解正确，则在比较两个不匹配样本的位置时，如果样本量较小，我们宁愿使用Wilcoxon秩和检验而不是不配对t检验。

从理论上讲，即使我们两组的样本量相对较大，我们还是更愿意使用Wilcoxon秩和检验而不是不成对的t检验吗？

我对这个问题的动机来自观察到的是，对于单个样本t检验，将其用于偏小分布的不太小的样本会产生错误的I型错误：

n1 <- 100
mean1 <- 50
R <- 100000
P_y1 <- numeric(R)
for(i in seq_len(R))
{
    y1 <- rexp(n1, 1/mean1)
    P_y1[i] <- t.test(y1 , mu = mean1)$p.value
}
sum(P_y1<.05) / R # for n1=n2=100 -> 0.0572  # "wrong" type I error

t-test wilcoxon-mann-whitney

— 塔尔·加利利
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对我来说，0.0572似乎足够接近0.05。

— mark999 2011年

嗨，马克-在对原假设进行100000次重复时，我们预计不会从0.05处获得该差异水平。通常，我们希望正负的差为0.05的两倍，即sqrt（0.05 * 0.95 / 100000）的两倍

— Tal Galili

我同意这是不正确的。我只是说它看起来足够接近实际用途。

— mark999 2011年

一个相关的问题：如何在t检验或非参数检验（例如小样本中的Wilcoxon）之间进行选择，该检验考虑了配对和非配对检验，以及Wilcoxon的替代品，如Brunner-Munzel。弗兰克·哈雷尔（Frank Harrell）也提供了一个很好的答案，这解释了为什么他比上面的摘录更详细地说明自己的方法是合理的（例如，在单调变换下秩不变的重要性）。

— 银鱼

@TalGalili：考虑到您正在进行t检验并且违反了正态性假设（我看到您的样本呈指数分布），为什么您不期望得到这种差异水平？我是在这里从新手的角度问的。我只是想了解我们的期望，在违反正态性假设的情况下进行了一次样本t检验。为什么平均I型错误应小于5％，或大于5％，或其他任何值？从我的角度来看，我们正在测试的是，并且分布是正常的。

H_{0} : μ = 50

$H_0: \mu=50$

— Erosennin

Answers:

就在这里。例如，从具有无限方差的分布中进行的任何采样都会破坏t检验，但不会破坏Wilcoxon。参考非参数统计方法（Hollander和Wolfe），我发现均匀分布的Wilcoxon相对于t检验的渐近相对效率（ARE）为1.0，Logistic相对密度为1.097（即Wilcoxon更好），1.5相对于t检验。双指数（Laplace）和3.0。

Hodges和Lehmann表明，Wilcoxon相对于任何其他测试的最小ARE为0.864，因此，相对于其他任何测试，使用它的效率永远不会超过14％。（当然，这是渐近的结果。）因此，弗兰克·哈雷尔（Frank Harrell）对威尔科克森（Wilcoxon）的默认使用可能应该被包括我在内的几乎每个人所采用。

编辑：针对评论中的后续问题，对于那些喜欢置信区间的人，Hodges-Lehmann估计量是“对应” Wilcoxon检验的估计量，并且可以围绕此建立置信区间。

— 鲍勃曼
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如果使用Wilcoxon检验，是否有一种简单的方法来获得置信区间？似乎鼓励人们过分强调p值，甚至比使用参数方法时要强调的更多。

— mark999 2011年

是的，Hodges-Lehmann估计器是相关的估计器，并且我已经编辑了响应的主体，以便将来的读者不必阅读这些注释。

— jbowman 2011年

谢谢jbowman。我对Hodges-Lehmann估计量不熟悉，但是会发现我能找到的信息。

— mark999 2011年

biostat.mc.vanderbilt.edu/WilcoxonSoftware演示了如何使用R来获得Hodges-Lehmann估计及其置信区间。

— Frank Harrell

（+1）来自愚蠢的反等级传统主义者。但是，等级检验的一个挑战是假设是模糊的。通常与t检验的假设不同。t检验始终检验均值差，Wilcoxon检验加权均值秩差。当然，如果秩均值差异在统计上是显着的，则我们知道分布必须不同，即使它们的均值相同。在所有情况下，两种测试均无法检测分布差异。我之所以这么说是因为我赞成可解释性。（1/2）

— AdamO

让我带你回到我们讨论的意见，这个你的问题。Wilcoxon秩和检验等同于Mann-Whitney U检验（其对两个以上样本的直接扩展称为Kruskal-Wallis检验）。您可以在Wikipedia以及此文本中看到，Mann-Whitney（或Kruskal-Wallis）通常比较的不是均值或中位数。它比较了值的总体患病率：哪个样本“随机较大”。该测试是免费的。T检验比较均值。假定为正态分布。因此，测试涉及不同的假设。在大多数情况下，我们不打算专门比较均值，而是想知道哪个样本的值更大，这使Mann-Whitney成为我们的默认检验。另一方面，当两个分布都是对称的时，检验一个样本是否比另一个样本“更大”的任务退化为比较两种均值的任务，然后，如果分布是正态且方差相等，则t检验变得有些更加强大。

— ttnphns
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+1可将您的答案与被测假设的含义联系起来。

— Josh Hemann

所谓“哪个样本“随机地更大””，是指“哪个样本通常比另一个样本具有更大的值”？如果不是，那是什么意思？您能再详细说明一下吗？

— Erdogan CEVHER '18年

@埃尔多安，是的，我们可以像你说的那样说。严格的措辞是这样的：在随机选择的对象对中，每个样本中的一个，“随机性更高”的样本中的对象将比另一个样本中的对象具有更高的概率（按值）> 0.5。

— ttnphns