有多少个最大的术语加起来是总数的一半？

考虑其中是iid，而CLT成立。几个最大的项加起来等于总数的一半？例如，10 + 9 + 8（10 + 9 + 8 + 1）/ 2：30％的术语大约占总数的一半。 $\sum_{i=1}^N |X_i|$ $X_1, \ldots, X_N$

$\approx$ $\dots$

定义
$\qquad\text{sumbiggest( j}; X_1 \dots X_N ) \equiv \text{sum of the j biggest of } |X_1| \dots |X_N|$
$\qquad\text{halfsum}( N ) \equiv \text{the smallest j such that sumbiggest( j )} \approx \text{sumbiggest}( N ) / 2 .$

Halfsum（）是否有一般的渐近结果？一个简单，直观的推导会很好。 $N, \mu, \sigma$

（A小蒙特卡洛表明，有时halfsum（） / 4左右; 即，最大的1/4加起来1/2总。我得到0.24为halfnormal，0.19为指数，对于 = 20、50、100。） $N$ $\approx N$
$X_i$
$N$ $N$ $N$

central-limit-theorem asymptotics

— 丹尼斯
source

不要期望像CLT这样的通用结果。例如，uniform（0,1）变量的答案将与uniform（1000,1001）变量的答案有很大不同！

— whuber

正确，一半和当然会取决于均值和标准差。但是为什么要〜N / 5为指数呢？

— denis

渐近地，丹尼斯，半和的截止点将是值，其中，其中是的pdf。; 这个问题要求（是的cdf ）。对于统一的分布，您将获得@Dilip的答案；对于指数，。

x

$x$

\int_{0}^{x} t f (t) d t = 1 / 2

$\int_0^x t f(t)dt = 1/2$

f

$f$

| X_{i} |

$|X_i|$

N (1 - F (x))

$N(1-F(x))$

F

$F$

| X_{i} |

$|X_i|$

[0, 1]

$[0,1]$

x \approx 0.186682 N \approx N / 5

$x\approx 0.186682 N \approx N/5$

— ub

Answers:

不，没有一般的渐近结果。令为有序，其中为最大。 $x_{[1]} \dots x_{[N]}$ $x_i$ $x_{[1]}$

考虑以下两个示例：

1）。显然，CLT成立了。对于您只需要观测值。 $P(x=0) = 1$ $M=1$ $\sum_{j=1}^M|x_{[j]}| \ge \frac{1}{2} \sum_N|x_i|$

2）。显然，CLT成立了。您需要观测值。 $P(x=1) = 1$ $M=\lceil N/2\rceil$ $\sum_{j=1}^M|x_{[j]}| \ge \frac{1}{2} \sum_N|x_i|$

对于一个不平凡的例子，伯努利分布：

3）。CLT再次成立。您需要观测值才能满足您的条件。通过在0和1之间变化，可以根据需要尽可能接近示例1或示例2。 $P(x=1) = p,\space P(x=0) = 1-p$ $\lceil pN/2\rceil$ $p$

— 鲍伯曼
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确实很明显，答案可以在到之间的任何位置，但这并不意味着不存在一般结果。它的意思是，我们应该考虑分数取决于基础分布的某些属性（例如均值和SD）的答案。这些与CLT一起足以提供有关与它们的总和相比如何分布的具体和定量信息，因此希望有这样的结果是合理的。

0

$0$

N / 2

$N/2$

x [i]

$x[i]$

— whuber

这是一个粗略的论点，给出了对均匀分布的随机变量的略有不同的估计。假设是均匀分布在上的连续随机变量。然后，具有平均值。假设通过一个令人惊讶且完全不可思议的巧合，该和正好等于。因此，我们想估计最大值中有多少个等于或更大。现在，从均匀度分布提取的样本（非常大）的直方图从到大致平坦 $X_i$ $[0,1]$ $\sum_i X_i$ $N/2$ $N/2$ $X$ $N/4$ $N$ $N$ $U[0,1]$ $0$ $1$ ，因此对于任何，，都有样本在到之间大致均匀地分布。这些样本具有平均值并且总和等于。总和超过为。因此，最样本的总和超过。 $x$ $0 < x < 1$ $(1-x)N$ $x$ $1$ $(1+x)/2$ $(1-x)N(1+x)/2) = (1-x^2)N/2$ $N/4$ $x \leq 1/\sqrt{2}$ $(1-1/\sqrt{2})N \approx 0.3N$ $N/4$

您可以尝试对此进行概括。如果，则对于任何给定的，我们希望等于，其中是均值且方差法线。因此，以的值为条件，。乘以的密度并积分（从到），以找到将超过随机总和一半的最大样本的平均数量。 $\sum_i X_i = Y$ $Y$ $x$ $(1-x^2)N/2 = Y/2$ $Y$ $N/2$ $N/12$ $Y$ $x = \sqrt{1-(Y/N)}$ $Y$ $Y=0$ $Y=N$

— 迪利普·萨瓦特（Dilip Sarwate）
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被限制在间隔的两点之间的距离不能按指数分布，因为该距离必须小于而指数随机变量的取值为。什么是真实的是，如果是独立的指数随机变量，那么空调上中，为了统计均匀地分布在。例如，在伴随网站math.SE上查看此问题和答案。（续）

(0, 1)

$(0,1)$

1

$1$

(0, \infty)

$(0,\infty)$

Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{n + 1}

$Y_1, Y_2, \ldots, Y_{n+1}$

Y_{max} = α

$Y_{\max} = \alpha$

Y_{(1)}, Y_{(2)}, \dots, Y_{(n)}

$Y_{(1)}, Y_{(2)}, \ldots, Y_{(n)}$

(0, α)

$(0, \alpha)$

— Dilip Sarwate

无论如何，我的论点都不使用均匀分布中有序样本之间的距离。

— Dilip Sarwate

你说得对，我误会了你。附带的问题是，按比例缩放后，均匀随机点之间的片段不是按指数分布的吗？[Wolfram演示项目的折断规则]（demos.wolfram.com/BrokenStickRule）肯定看起来是指数的，一定容易吗？证明。

— denis

请问您的附带问题作为一个单独的问题。

— Dilip Sarwate

开始，然后看到片段长度的概率分布，您可以在此处评论。

— denis

假设X具有正值以摆脱绝对值。

如果没有确切的证明，我认为您必须解决k

$(1-F_{X}(k))E(X|X>=k)= \frac{1}{2} E(X)$ 其中F是的累积分布函数

然后通过将来给出答案。 $n(1-F_X(k))$

我的逻辑是，高于k的所有值的总和应为约

$n(1-F_{X}(k))E(X|X>=k)$

总和的一半是

$\frac{1}{2}nE(X)$ 。

数值模拟表明，对于且为的均匀情况（），结果仍然成立。我不确定结果是否总是成立或是否可以进一步简化，但我认为它确实取决于分布函数F。 $[0,1]$ $F(k)=k$ $k=\sqrt(\frac{1}{2})$

— 埃里克
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