有计算中位数的公式吗？

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是否有一个等效的均值公式：

米 Ë 一个 ñ = \frac{1个}{ñ} \sum_{一世 = 1个}^{ñ} X_{一世}

$\begin{equation} \mathrm{mean} = \cfrac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} X_i \end{equation}$

中位数？

median definition

— 克雷格
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如果将定义为原始数据的排序版本，则中位数定义为： $O_1, O_2, \ldots, O_N$ $X_1, X_2, \ldots, X_N$

M e d i a n ({O_{1}, O_{2}, \dots, O_{N}}) = {\begin{cases} O_{(N + 1) / 2} & i f N i s o d d \\ (O_{N / 2} + O_{N / 2 + 1}) / 2 & o t h e r w i s Ë \end{cases}

$\mathrm{Median}(\{O_1, O_2, \ldots, O_N\}) = \left\{\begin{array}{ll} O_{(N+1)/2} & \mathrm{if}~N~\mathrm{is~odd} \\ (O_{N/2}+O_{N/2+1})/2 & \mathrm{otherwise}\end{array}\right.$

无需对数据进行排序，就可以使用几何中位数的定义来在一维中定义中位数：

中号 Ë d 一世 一个 ñ （ {X_{1个} ， X_{2} ， \dots ， X_{ñ}} ） = 精氨酸 \underset{ÿ}{分} \sum_{一世 = 1个}^{ñ} | X_{一世} - ÿ |

$\mathrm{Median}(\{X_1, X_2, \ldots, X_N\}) = \arg\min_{y} \sum_{i=1}^N \big|X_i-y\big|$

注意，当点数为偶数时，这并不一定定义唯一的中位数。例如，任何数字使用优化目标。 $y\in[3, 4]$ $X = \{2, 3, 4, 5\}$

— 乔斯利伯
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的形式不是唯一的答案-只是使用的约定。和之间的任何值都可以合理地称为“中位数”

N

$N$

O_{N / 2}

$O_{N/2}$

O_{N / 2 + 1}

$O_{N/2+1}$

— 概率

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@probabilityislogic可以肯定的。我添加了几何中位数定义，即使对于也不一定是唯一的。

N

$N$

— josliber

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表示均值的另一种方法是“最小二乘”估计：

\sum_{一世 = 1个}^{ñ} （ X_{一世} - 米 ）^{2}

$\sum_{i=1}^N (X_i - m)^2$

将选择为平均值可得出平方误差总和的最小值。 $m$

现在，中位数可以表示为“最小绝对偏差”估计值：

\sum_{一世 = 1个}^{ñ} | X_{一世} - 米 |

$\sum_{i=1}^N |X_i - m|$

将选择为中值可得出绝对误差总和的最小值。 $m$

— 概率逻辑
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中位数是对应于一半分位数的值，即一半的值较高，一半的值较低（请原谅我忽略具有相等性的情况或当集合为偶数时的情况...）。这样，如果已知数据集的pdf，则可以轻松评估累积分布。注意这个函数，然后 $p_X$ $X_1 \cdot X_n$ $P_X$

米 Ë d 一世 一个 ñ = P_{X}^{- 1个} （ \frac{1个}{2} ）

$median = P_X^{-1}(\frac 1 2)$

例如，在本评论文章中用于直方图均衡的这种方法中的角度情况。左下方的面板显示了一组自然图像中角度的pdf。是累积分布，中位数是与值对应的值，在这种情况下约为。 $p(\theta)$ $P(\theta)$ $\theta$ $1/2$ $0$

— 梅杜兹
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