中心极限定理的动力学系统观点？

（最初发布于MSE。）

我已经看到许多关于经典中心极限定理的启发式讨论，都把正态分布（或任何稳定分布）说成是概率密度空间中的“吸引子”。例如，在Wikipedia的治疗方法顶部考虑以下句子：

在更一般的用法中，中心极限定理是概率论中一组弱收敛定理中的任何一个。他们都表达了这样一个事实，即许多独立且均匀分布的（iid）随机变量的总和，或者具有特定依赖类型的随机变量将倾向于根据一小部分吸引子分布进行分布。当iid变量的方差是有限的时，吸引子分布为正态分布。

这种动态系统语言很有启发性。费勒在第二卷中对CLT的处理中也提到了“吸引力”（我想知道这是否是该语言的来源），而本笔记中的尤瓦尔·弗利姆斯（Yuval Flimus）甚至谈到了“吸引力盆地”。（我不认为他的意思是“ 事先可以推断出吸引盆的确切形式”，而是“ 事先可以推断出吸引子的确切形式”；但是，语言在那里。）我的问题是：这些可以吗？动态类比可以精确吗？我不知道它们在哪本书中-尽管许多书确实强调了正态分布对于卷积下的稳定性（以及傅立叶变换下的稳定性）是特殊的。这基本上告诉我们，法线很重要，因为它是一个固定点。CLT进一步发展，告诉我们这不仅是一个固定点，而且是吸引子。

为了使此几何图形精确，我假设将相空间作为一个合适的无限维函数空间（概率密度的空间），并将演化算子与初始条件重复卷积。但是我不知道使这张照片起作用的技术性或是否值得追求。

我猜想，因为我找不到确实可以明确采用这种方法的治疗方法，所以我认为这是可以做的或者很有趣，这肯定存在一些错误。如果是这样，我想听听为什么。

编辑：在整个Math Stack Exchange和MathOverflow中，读者可能会对三个类似的问题感兴趣：

• 高斯分布作为某些分布空间（MO）中的固定点
• 通过最大熵（MO）的中心极限定理
• 是否有通过某些不动点定理证明中心极限定理？（MSE）

在对文献进行了一些研究之后，在Kjetil的回答的鼓励下，除了Y. Sinai的书之外，我发现了一些确实对CLT认真对待几何/动力学系统方法的参考。我会将我发现的内容发布给其他感兴趣的人，但我希望仍然能从专家那里听到有关这种观点的价值的信息。

最重要的影响似乎来自查尔斯·斯坦（Charles Stein）的作品。但是，对于我的问题，最直接的答案似乎来自Hamedani和Walter，他们对分布函数的空间进行了度量，并表明卷积会产生收缩，从而产生正态分布作为唯一的不动点。

• M. Anshelevich，自由概率理论中中心极限算子的线性化，arXiv：math / 9810047v2。
• LHY Chen，L.Goldstein和Q.Shao，斯坦因方法的正态近似，施普林格，2011年。
• JA Goldstein，关于中心极限定理和其他分析定理的Semigroup-理论证明，Semigroup Forum 12（1976），no。3，189–206。
• GG Hamedani和GG Walter，一个不动点定理及其在中心极限定理 Arch中的应用。数学。（巴塞尔）43（1984），no。3，258–264。
• S. Swaminathan，中心极限定理的不动点理论证明，见“不动点理论和应用”（马赛，1989年），皮特曼研究中心。笔记数学。系列。朗文科学252号。Tech。，Harlow，1991年，第391-396页。引用卡尔·斯特龙伯格（Karl Stromberg）的“分析师的机率”，第114页。

添加于2018年10月19日。

这种观点的另一个来源是奥利弗·克尼尔（Oliver Knill）的《概率与随机过程及其应用》，第2页。11（加重）：

$P$$f_y$$f_{\overline{Y+X}}$$\overline{Y+X}$$Y + X$$0$$1$$f= 1$$P^n(f_X)$$S^{*}_n$$n$$X_i$$1$$0$$P$ $\mathcal{L}^1$。这在其他情况下也适用。例如，对于圆值随机变量，均匀分布使熵最大化。因此，以均匀分布作为极限分布的圆值随机变量有一个中心极限定理就不足为奇了。

Y Sinai（Springer）撰写的“概率论入门课程”以这种方式讨论了CLT。

http://www.springer.com/us/book/9783662028452

这个想法是（从内存中...）

$A(x_1,x_2) = \frac{x_1+x_2}{\sqrt{2}}$