约束力矩产生功能

这个问题源于一问这里大约约束矩生成函数（MGFS）。

假设$X$是一个有界零均值随机变量承担值 $[-\sigma, \sigma]$和让$G(t) = E[e^{tX}]$是其MGF。从结合在Hoeffding不等式的证明使用中，我们有

$$G(t) = E[e^{tX}] \leq e^{\sigma^2t^2/2}$$ 其中右侧可识别为标准偏差为$\sigma$的零均值正常随机变量的MGF 。现在，的标准偏差$X$可以是不大于$\sigma$，与出现的最大值时$X$是一个离散随机变量，使得 $P\{X = \sigma\} = P\{X = -\sigma\} = \frac{1}{2}$。因此，所谓的界限可以说是指零均值有界随机变量$X$的MGF高于零均值正常随机变量的MGF，其标准偏差等于$X$可以达到的最大可能标准偏差。有。

我的问题是：这是一个众所周知的独立利益结果，用于霍夫丁不等式的证明以外的其他地方吗？如果是这样，是否还可以用非零均值扩展到随机变量？

的，提示这个问题结果允许不对称范围$[a,b]$为$X$与$a < 0 < b$但并坚持$E[X] = 0$。结合的是

$$G(t) \leq e^{t^2(b-a)^2/8} = e^{t^2\sigma_{max}^2/2}$$ ，其中$\sigma_{\max} = (b-a)/2$是值限制为$[a,b]$的随机变量可能的最大标准偏差，但除非$b = -a$否则零均值随机变量不会达到该最大值 。

我无法回答您问题的第一部分，但要将其扩展为具有非零均值的随机变量...

$Z$$[a+\mu,b+\mu]$$\mu$$X = Z-\mu$$[a,b]$$\phi_X(t) = \exp\{-\mu t\}\phi_Z(t)$$\exp\{\mu t\}$

$\phi_Z(t) = \exp\{\mu t\}\phi_X(t) \leq \exp\{\mu t\}\exp\{t^2\sigma^2_\text{max}/2\} = \exp\{\mu t + t^2\sigma^2_\text{max}/2\}$

$\sigma_\text{max}$