分布的傅立叶变换

除了正态分布和广义反正弦分布之外，它们自己的傅里叶变换是哪些分布？

distributions fourier-transform

— 尼尔·G
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假设傅立叶变换的是，其中其中。逆变换为 $x(t)$ $X(f)$

X （ F ） = \int_{- \infty}^{\infty} X （ Ť ） 经验值 （ - 一世 2 π F Ť ） d Ť

$X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \exp(-i2\pi f t) \mathrm dt$

i = \sqrt{- 1}

$i = \sqrt{-1}$

X （ Ť ） = \int_{- \infty}^{\infty} X （ F ） 经验值 （ 一世 2 π F Ť ） d F

$x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) \exp(i2\pi f t) \mathrm df$

傅立叶变换的一些属性如下：

傅立叶变换的是 $X(t)$ $x(-f)$
如果是实值偶函数，则是实值偶函数。 $x(t)$ $t$ $X(f)$ $f$

$x(t)$ $t$ $X(t)$ $x(f)$

$x(t)$ $x(t) \geq 0$ $t$ $x(0) = 1$ $X(f)$ $X(f) \geq 0$ $f$

X （ 0 ） = 1个 = \int_{- \infty}^{\infty} X （ F ） d F

$x(0) = 1 = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) \mathrm df$

X (f)

$X(f)$

f

$f$

1

$1$

X (f)

$X(f)$

X (0) = 1

$X(0) = 1$

X_{1个} （ Ť ） = 经验值 （ - π Ť^{2} ） ， X_{1个} （ F ） = 经验值 （ - π F^{2} ）

$x_1(t) = \exp(-\pi t^2), ~~ X_1(f) = \exp(-\pi f^2)$

X_{2} （ Ť ） = （ 1个 - | Ť | ） {1个}_{[- 1个 ， 1个]} ， X_{2} （ F ） = {辛克}^{2} （ F ） = {\begin{cases} {（ \frac{罪 （ π F ）}{π F} ）}^{2} ， & F \neq 0 ， \\ 1个 ， & F = 0。 \end{cases}

$x_2(t) = (1 - |t|)\mathbf 1_{[-1,1]}, ~~ X_2(f) = \operatorname{sinc}^2(f) = \begin{cases}\displaystyle \left(\frac{\sin(\pi f)}{\pi f}\right)^2,&f\neq 0,\\ 1,&f=0.\end{cases}$

$\frac{1}{2} x_2(t) + \frac{1}{2}X_2(t)$ $\frac{1}{2} X_2(f) + \frac{1}{2}x_2(f)$

$x(t)$ $X(f)$ $\frac{1}{2} x(t) + \frac{1}{2}X(t)$

$x_1(t)$ $\frac{1}{2} x_2(t) + \frac{1}{2}X_2(t)$

α X_{1个} （ Ť ） + （ 1个 - α ） [\frac{1个}{2} X_{2} （ Ť ） + \frac{1个}{2} X_{2} （ Ť ）]

$\alpha x_1(t) + (1-\alpha)\left[\frac{1}{2} x_2(t) + \frac{1}{2}X_2(t)\right]$

α \in [0, 1]

$\alpha \in [0,1]$

— 迪利普·萨瓦特（Dilip Sarwate）
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X (f)

$X(f)$

\int_{- \infty}^{\infty} X (f) d f < \infty

$\int_{-\infty}^\infty X(f) \,\mathrm{d}f < \infty$

X (f)

$X(f)$