Jeffreys先验多个参数

在某些情况下，前一个完整的多维模型的杰弗里被generaly视为不足，这是例如的情况下：（其中，，具有和未知），其中事先下面是首选（与全杰弗瑞斯现有）：

y_{i} = μ + ε_{i},

$y_i=\mu + \varepsilon_i \, ,$

ε \sim N (0, σ^{2})

$\varepsilon \sim N(0,\sigma^2)$

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

π (μ, σ) \propto σ^{- 2}

$\pi(\mu,\sigma)\propto \sigma^{-2}$

其中

是保持

固定时（以及类似的

）获得的Jeffreys先验值。当在单独的组中处理

和

时，该先验与参考先验重合。

p (μ, σ) = π (μ) \cdot π (σ) \propto σ^{- 1},

$p(\mu,\sigma) = \pi(\mu) \cdot \pi(\sigma) \propto \sigma^{-1}\, ,$

π (μ)

$\pi(\mu)$

σ

$\sigma$

p (σ)

$p(\sigma)$

σ

$\sigma$

μ

$\mu$

问题1：为什么将它们分为不同的组比在同一组中进行处理更有意义（如果我正确的话，这会导致（？），在完整的Jeffreys文献中，请参见[1]）？

然后考虑以下情况：其中是未知的，，是未知，和是一种已知的非线性函数。在这种情况下，很诱人，根据我的经验，有时可以考虑以下分解：

y_{i} = g (x_{i}, θ) + ε_{i},

$y_i=g(x_i,\mathbf{\theta}) +\varepsilon_i\, ,$

θ \in R^{n}

$\theta \in \mathbb{R}^n$

ε_{i} \sim N (0, σ^{2})

$\varepsilon_i \sim N(0,\sigma^2)$

σ

$\sigma$

g

$g$

其中

和

是两个子模型的Jeffreys先验，如同先前的比例尺位置示例一样。

p (σ, θ) = π (σ) π (θ),

$p(\sigma,\theta)=\pi(\sigma) \pi(\theta) \, ,$

π (σ)

$\pi(\sigma)$

π (θ)

$\pi(\theta)$

问题2：在这种情况下，我们能否从导出的先验说出关于最优性的任何信息？ $p(\sigma,\theta)$

[1]来自https://theses.lib.vt.edu/theses/available/etd-042299-095037/unrestricted/etd.pdf：

最后，我们注意到Jeffreys的先验是参考先验的特例。具体而言，Jeffreys先验对应于参考先验，在该参考先验中所有模型参数都在一个组中进行处理。

— eu
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我认为您的意思是多变量模型，严格来说，多变量回归是为左侧的多个变量保留的。

— mdewey

$\pi(\theta,\sigma)\propto \dfrac{1}{\sigma}$ $\pi(\theta,\sigma)\propto \dfrac{1}{\sigma}^2$

— 西安
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谢谢您的输入。尽管如此，在我看来，Jeffreys Prior在某种意义上提供了某种最优性，至少在1d环境中，它们是使信息理论量最小化的一种意义，该理论量可以说是有意义并可以讨论（请让我知道我是否错了））。我的观点是：我们可以写出类似的“标准”吗，Jeffreys的先前过程满足我的问题中给出的两个设置？从我的问题中给出的引言来看，似乎是的，我喜欢讨论选择此标准而不是另一个标准的含义（从纯粹的IT角度来看：）。

— peuhp