为什么连续性校正（例如，对二项式分布的正态近似）起作用？

我希望更好地了解如何得出对正态近似的二项式分布的连续性校正。

用什么方法决定我们应该加1/2（为什么不加另一个数字？）。任何解释（或建议的读数的链路，比其它此，将被理解的）。

1. 实际上，它并不总是“起作用”的（从任何处总是通过法线总是提高二项式cdf的近似）。如果二项式为0.5，我认为它总是有帮助的，除了最极端的尾巴。如果距离0.5不太远，那么在较大的情况下，它通常会很好地起作用，除非在远尾，但如果接近0或1，则可能根本没有帮助（请参见下面的第6点）。p p Ñ $x$$p$$p$$n$$p$

2. 要记住的一件事（尽管有插图，但几乎总是涉及pmfs和pdfs）是我们试图近似的是cdf。仔细考虑二项式的cdf和近似法线（例如，这里）发生了什么：$n=20,p=0.5$

   

   在极限情况下，标准化二项式的cdf将变为标准法线（请注意，标准化会影响x轴上的比例，而不影响y轴上的比例）；沿途越来越大$n$二项式CDF的跳跃往往更均匀地跨越正常CDF。

   让我们在上面的简单示例中放大并查看：

   

   请注意，由于近似法线通过接近垂直跳跃的中间*，而在极限范围内，法线cdf局部近似线性，并且（每次跳跃顶部的二项式cdf的变化也是如此）；结果，cdf倾向于越过x + 1附近的水平台阶。如果要近似整数x的二项式cdfF（x）的值，则正常cdf会达到接近x+1的高度$x+\frac{_1}{^2}$$F(x)$$x$。$x+\frac{_1}{^2}$

   *如果将Berry-Esseen应用于均值校正的Bernoulli变量，则当接近1时，Berry-Esseen边界允许的摆动空间很小$p$和x接近μ-正常cdf必须合理地接近跳跃的中间位置，因为否则cdfs的绝对差将超过一侧或另一侧的最佳Berry-Essen界限。这又与距x+1的距离有关$\frac12$$x$$\mu$正常cdf可以跨越二项式cdf的阶跃函数的水平部分。$x+\frac{_1}{^2}$

3. 扩展1.中的动机，让我们考虑如何使用二项式cdf的正态近似来计算。例如n = 20 ，p = 0.5 ，k = 9（请参见上面的第二张图）。因此我们的均值和sd相同的法线为N （10 ，（$P(X=k)$$n=20, p=0.5, k=9$。请注意，我们将通过正常cdf在大约8.5和9.5之间的变化来估算cdf在9处的跳跃。$N(10,(\sqrt{5})^2)$

4. $p(x)$$x$$p(x)$

   

   框下的面积由之间的法线近似$x-\frac12$$x+\frac12$$\frac12$

   可以使用推导（沿De Moivre方法行- 例如参见此处或此处）代数地激发这种方法，以推导法线逼近（尽管它可以比De Moivre方法更直接地执行）。

   ${n \choose x}$$\log(1+x)\approx x-x^2/2$

   $$P(X=x)\approx \frac{1}{\sqrt{2\pi np(1-p)}}\exp(-\frac{(x-np)^2}{2np(1-p)})$$

   $\mu=np$X $\sigma^2 = np(1-p)$$x$$x$

   因此，现在考虑对于二项式高度，我们对正常区域有一个中点规则近似值...也就是说，对于，中点规则说，从De Moivre得出。翻转大约。˚F （Ý + $Y\sim N(np,np(1-p))$˚FÝ（X）≈P（X=X）P（X=X）≈˚F（X+$F(y+\frac12)-F(y-\frac12) = \int_{y-\frac12}^{y+\frac12}f_Y(u)du\approx f_Y(y)$$f_Y(x)\approx P(X=x)$$P(X=x)\approx F(x+\frac12)-F(x-\frac12)$

   [相似的“中点法则”类型逼近法可用于通过使用连续性校正来激发密度的其他此类连续pmfs逼近法，但必须始终谨慎注意调用该逼近法的意义。

5. 历史记录：连续性校正似乎起源于1838年的Augustus de Morgan，是对De Moivre逼近的一种改进。参见，例如Hald（2007）[1]。根据Hald的描述，他的推理遵循上述第4项（即，实质上是通过用以x值为中心的宽度为1的“块”替换概率峰值来尝试近似pmf）。

6. 连续性校正无济于事的情况说明：

   

   $X$$Y$$F_X(x)\approx F_Y(x+\frac12)$$p(x) \approx F_Y(x+\frac12)-F_Y(x-\frac12)$$F_X(x)\approx F_Y(x)$$p(x) \approx F_Y(x)-F_Y(x-1)$

   [1]：Hald，Anders（2007），
   “从伯努利到费舍尔的参数统计推断的历史，1713-1935年”，《
   数学和物理科学史的资料来源和研究》，
   纽约Springer-Verlag

我认为该因素是由于我们将连续分布与离散分布进行了比较。因此，我们需要转换每个离散值在连续分布中的含义。我们可以选择另一个值，但是对于给定的整数，这将是不平衡的。（即，您将7的概率比5的概率高6）。

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