渐近无偏与一致性之间有什么区别？

彼此暗示吗？如果不是，是否意味着另一个？为什么/为什么不呢？

这个问题是针对我在此处发布的答案的评论而提出的。

尽管google搜索相关术语并没有产生看起来特别有用的东西，但我确实注意到了数学stackexchange 的答案。但是，我认为这个问题也适用于该网站。

阅读评论后进行编辑

相对于math.stackexchange答案，我正在做更深入的研究，涵盖了@whuber注释线程中处理的一些问题。另外，正如我所看到的，math.stackexchange问题表明一致性并不意味着渐近地无偏见，但是对于原因却没有太多解释。那里的OP还理所当然地认为渐近无偏并不意味着一致性，因此到目前为止，唯一的回答者并没有解决为什么这样做。

— user1205901-恢复莫妮卡
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从此处开始相关的聊天讨论。

— Stephan Kolassa '16

有关此问题的概念在stats.stackexchange.com/a/31038/919之后的评论中进行了广泛讨论。

— ub

@whuber所链接的讨论的后续线程在这里：stats.stackexchange.com/questions/120584。

— 变形虫说莫妮卡

$\lim_{n\to \infty} E(\hat \theta_n-\theta) = 0$

直觉上，我不同意：“无偏”是我们首先学习的与分布（有限样本）有关的术语。相对于渐近分布，考虑“渐近无偏”似乎更为自然。实际上，这就是Lehmann＆Casella在“点估计理论”（1998年，第二版）第438页的定义2.1（简化表示法）中所做的：

$If k_{n} ({\hat{θ}}_{n} - θ) \to_{d} H$ $\text{If} \;\;\;k_n(\hat \theta_n - \theta )\to_d H$
对于某些序列和某些随机变量，如果的期望值为零，则估计量是渐近无偏的。 $k_n$ $H$ $\hat \theta_n$ $H$

根据这个定义，我们可以说，一致性意味着渐近无偏性，因为

{\hat{θ}}_{n} \to_{p} θ ⟹ {\hat{θ}}_{n} - θ \to_{p} 0 ⟹ {\hat{θ}}_{n} - θ \to_{d} 0

$\hat \theta_n \to_{p}\theta \implies \hat \theta_n - \theta \to_{p}0 \implies \hat \theta_n - \theta \to_{d}0$

...并且等于0的简并分布具有等于0的期望值（此处序列为1的序列）。 $k_n$

但是我怀疑这并不是真正有用，它只是渐近无偏性定义的副产品，它允许退化随机变量。本质上，我们想知道，如果我们有一个包含估计量的表达式收敛到非退化rv，则一致性是否仍意味着渐近无偏。

在本书的较早位置（第431页定义1.2），作者将属性称为“ 极限无偏 ”，但它没有与渐近无偏重合。 $\lim_{n\to \infty} E(\hat \theta_n-\theta) = 0$

在估计变量方差序列变为零（这意味着方差首先存在）的附加条件下，限制中的无偏差足以（但不是必须）保持一致性。

对于与非零方差的一致性相关的复杂性（有点令人难以置信），请访问此文章。

— 阿莱科斯·帕帕多普洛斯
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我是否正确理解定义中的可以是任何随机变量（即对于某些序列和某些等）？如果是这样，也许可以提及

H

$H$

k_{n}

$k_n$

H

$H$

— Juho Kokkala '16

不幸的是，该答案仅使“在极限中无偏见是足够的”而不是“在估计器方差的序列变为零的附加条件下”才有底气。这很容易被误导，因为附加条件对于这种“充足”至关重要。

— daegan