n iid个正态变量最大比的期望值

假设是 iid，并且表示的第个最小元素。怎样才能使两个连续元素之间的比率的预期最大值达到上限？也就是说，如何计算上限： $X_1,...,X_n$ $N(\mu,\sigma^2)$ $X_{(i)}$ $i$ $X_1,...,X_n$ $X_{(i)}$

E [max_{i = 1, . . ., n - 1} (\frac{X_{(i + 1)}}{X_{(i)}})]

$E\left[\max\limits_{i=1,...,n-1}\left(\frac{X_{(i+1)}}{X_{(i)}}\right)\right]$

我能够找到的文献主要集中在两个随机变量之间的比率上，这导致了比率分布，此处给出了两个不相关的正态分布的pdf：https : //en.wikipedia.org/wiki/ Ratio_distribution＃Gaussian_ratio_distribution。虽然这将使我能够提高 $n$ 变量的预期平均比率的上限，但我看不到如何将这一概念推广到 $n$ 变量的预期最大比率。

— 最高
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正如下面胡布指出的那样，对两个连续订单统计之比的期望并没有收敛。但是，如果这样做，或者您对它们的区别感兴趣，请说

E [max_{i = 1, . . ., n - 1} (X_{(i + 1)} - X_{(i)})]

$E\left[\max\limits_{i=1,...,n-1}\left(X_{(i+1)} - X_{(i)} \right)\right]$ ...问题实际上应该简化为找出两个最大阶次统计量即

的比率（或视情况而定）

E [X_{(n)} - X_{(n - 1)}]

$E[X_{(n)} -X_{(n-1)}]$ ...仅来自法线尾巴的形状。

— Wolfies '16

期望是不确定的。

令根据具有以下属性的任何分布：存在一个正数和一个正，使得 $X_i$ $F$ $h$ $\epsilon$

\begin{matrix} (1) & F (x) - F (0) \geq h x \end{matrix}

$F(x) - F(0) \ge h x\tag{1}$

对于所有。此属性适用于任何连续分布，例如正态分布，其密度为连续且在处不，因此允许我们为取到之间的任何固定值。 $0 \lt x \lt \epsilon$ $f$ $0$ $F(x) - F(0) = f(0)x + o(x)$ $h$ $0$ $f(0)$

为了简化分析，我还将假设和，这对于所有正态分布都是正确的。（可以通过在必要时重新缩放来确保后者。前者仅用于允许简单地低估概率。） $F(0) \gt 0$ $1-F(1) \gt 0$ $F$

令并高估该比率的生存函数为 $t \gt 1$

\begin{aligned} Pr (\frac{X_{(i + 1)}}{X_{(i)}} > t) & = Pr (X_{(i + 1)} > t X_{(i)}) \\ > Pr (X_{(i + 1)} > 1, X_{(i)} \leq 1 / t) \\ > Pr (X_{(i + 1)} > 1, 1 / t \geq X_{(i)} > 0, 0 \geq X_{(i - 1)}) . \end{aligned}

$\eqalign{ \Pr\left(\frac{X_{(i+1)}}{X_{(i)}} \gt t\right) &= \Pr(X_{(i+1)} \gt t X_{(i)}) \\ &\gt \Pr(X_{(i+1)}\gt 1,\ X_{(i)} \le 1/t) \\ &\gt \Pr(X_{(i+1)}\gt 1,\ 1/t \ge X_{(i)} \gt 0,\ 0 \ge X_{(i-1)}).}$

这后一种可能性是机会，恰好所述的超过，正好一个位于在间隔，剩下的如果有的话）正。在方面这样的机会给出通过多项式 $n-i$ $X_j$ $1$ $(0,1/t]$ $i-1$ $F$

(\binom{n}{n - i, 1, i - 1}) (1 - F (1))^{n - i} (F (1 / t) - F (0)) F (0)^{i - 1} .

$\binom{n}{n-i,1,i-1}(1-F(1))^{n-i}(F(1/t)-F(0))F(0)^{i-1}.$

当，不等式为此提供了与成比例的下限，表明 $t \gt 1/\epsilon$ $(1)$ $1/t$

的生存函数的一条尾巴渐近地表现为，即为某个正数。 $S(t)$ $X_{(i+1)}/X_{(i)}$ $1/t$ $S(t) = a/t + o(1/t)$ $a$

根据定义，任何随机变量的期望是其正部分的期望加上其负部分的期望。因为期望的正部分（如果存在）是生存函数（从到）的积分，并且 $\max(X,0)$ $-\max(-X,0)$ $0$ $\infty$

\int_{0}^{x} S (t) d t = \int_{0}^{x} (1 / t + o (1 / t)) d t \propto \log (x),

$\int_0^x S(t) dt = \int_0^x (1/t + o(1/t))dt\; \propto\; \log(x),$

的期望的正部分是不同的。 $X_{(i+1)}/X_{(i)}$

应用于变量的相同参数显示期望的负部分。 因此，该比率的期望甚至不是无限的：它是不确定的。 $-X_i$

— ub
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+1我只是自己尝试一个的“简单” 案例，并尝试评估期望...并得出相同的结论：期望积分不收敛。也许OP将以不同的形式重新提出问题，例如差异而不是比率

n = 3

$n = 3$

— 狼人