方差比标准差更基本的概念吗？

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在这个心理测量学网站上，我读到了

[A]深水平方差是比标准差更基本的概念。

该站点并没有真正进一步解释为什么方差比标准偏差更根本，但是它提醒我我在该站点上已经阅读了一些类似的内容。

例如，@ kjetil-b-halvorsen 在此评论中写道：“标准差有助于解释和报告。对于发展该理论，方差更好。”

我认为这些声明是相关的，但我并不真正理解它们。我知道样本方差的平方根并不是总体标准偏差的无偏估计量，但是肯定有更多的东西。

对于这个网站，“基本”一词也许含糊不清。在那种情况下，也许我们可以从发展统计理论的角度出发，问问方差是否比标准差更重要？为什么/为什么不呢？

variance standard-deviation

— user1205901-恢复莫妮卡
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他们不是同一件事吗？就像1 + 1和2 * 1一样？

— SmallChess

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方差是第二个累积量。在上累积维基百科的文章应该有印象如何，他们自然且重要的是，不仅对随机变量的研究，而且在物理和组合的人。标准偏差不具有多重线性属性（这是执行计算的基础），以及累积量扩展到多元分布。

κ_{2}

$\kappa_2$

— ub

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罗伯特（Robert）和贝（Bey）的回答确实提供了故事的一部分（即，矩往往被认为是分布的基本属性，通常，标准差是根据第二中心矩而不是相反的方向来定义的），但这些误差的程度事情真的很根本，部分取决于我们所说的术语。

例如，如果我们的惯例走了另一条路，那就不会有无法解决的问题-没有什么可以阻止我们常规地定义一些其他数量序列来代替通常的时刻，例如表示（请注意既适合矩序列，又适合第一个项），然后定义矩-以及与之有关的所有计算方式时刻-就他们而言。注意，这些量全部以原始单位测量，这是力矩的一个优点（力矩是原始单位的次方，因此较难解释）。这将使总体标准偏差成为定义的数量，并以此定义数量和方差。 $E[(X-\mu)^p]^{1/p}$ $p=1,2,3,...$ $\mu$ $p$

但是，这将使像矩生成函数这样的量（或与上面定义的新量有关的等同物）变得不太“自然”，这会使事情变得更加尴尬（但某些约定有点类似）。MGF有一些方便的属性，而其他方法则不太方便。

在我看来（但与此有关），更基本的是，有许多基本的方差属性，当写为方差属性时比写成标准差属性时更方便（例如独立变量之和的方差）。随机变量是方差之和）。

这种可加性是其他色散度量无法共享的属性，它具有许多重要的后果。

[其他累积量之间存在类似的关系，因此在某种意义上，我们可能想更一般地定义与时刻有关的事物。]

所有这些原因可以说是惯例或便利，但在某种程度上是一个观点问题（例如，从某些角度看，时刻是非常重要的数量，从另一些方面来看，它们并不那么重要）。“深层次”的含义可能只不过是暗示kjetil的“发展理论时”。

我同意你在问题中提出的观点。在某种程度上，这个答案只是徒劳的讨论。

— Glen_b-恢复莫妮卡
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我要说的是，两者是平等的，每一个都有各自的附带便利。

— JM不是统计学家

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方差由分布的第一刻和第二刻定义。相比之下，标准差更像是一个“规范”，而不是瞬间。时刻是分布的基本属性，而规范只是区别的一种方式。

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方差比标准偏差更基本，因为标准偏差定义为“方差的平方根”，例如，其定义完全取决于方差。

另一方面，方差完全独立地定义为“样本与均值之间平方差的期望”。

— 罗伯特·德格拉夫
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我将其更多地看作是关于我们（通常）在教学中使用术语的方式的报告，而不是对基本内容的反思。完全可以引入标准偏差而无需提及方差（尚未），许多文本和课程都做到了这一点，就像您可以谈论毕达哥拉斯定理而无需为平方量使用任何特殊名称一样。从历史上看，术语“统计学上的差异”要比标准差的术语晚，因此即使这种形式的单词在几十年内也是不可能的。

— 尼克·考克斯

当我试图对Glen现在删除的注释做出回应时，我意识到标准偏差已经作为方差之前的标签出现了-当时我反映了这样一个事实，即较早的术语现在通常以较新的术语定义较新术语的说法是更基本而不是削弱它们。

— 罗伯特·德格拉夫

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可以找到各种解释。在我对SD的入门教学中（向地理学家（并非所有人都算术强）），我根本不使用方差一词。我很快指出，SD是正态（高斯）分布的自然尺度度量，因为密度函数的均值和任一拐点之间的距离。我怀疑这更多是出于我自己的娱乐和乐趣，而不是学生。

— 尼克·考克斯

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除了此处给出的答案外，如果我们考虑从（例如正常）人群进行估计，那么在某种意义上可以指出方差比标准差更“基本”。对于大小的样品从总体中取出的与，已知的是，样本方差是一个无偏估计，但是在通常不是的无偏估计量：请参见此处，来自Jensen的不等式。 $n$ $X$ $\mathrm{Var}[X] = \sigma^2$ $S^2$ $\sigma^2$ $S$ $\sigma$

Ë [{小号}^{2}] = σ^{2} ， Ë [小号] \neq σ ，

$\mathrm{E}[S^2] = \sigma^2\,,\ \mathrm{E}[S]\neq \sigma\,,$

— 斯蒂恩·德威斯特
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相反，大小为的样本的样本方差不是无偏估计量，除非将其定义为具有除数。您可以这样做，但是整个论证都趋于圆性，即定义为无偏的估计量确实是无偏的。此外，这里的论点有争议，认为无偏绝对比有偏更可取。例如，使用最大似然，许多人会认为这是更深，更笼统的原理，即使用无偏估计量通常会导致有偏估计量。

n

$n$

n - 1

$n - 1$

— 尼克·考克斯

对，对。没有偏见并不总是更好，我从来没有想过要另当别论。作为记录，我倾向于在这里与每个人都同意，使用标准开发人员不会有数学上的异议。作为基本概念，而不是方差。美在旁观者的眼中。但是glen_b关于的有用属性的评论怎么样？例如，对于独立，？那似乎很“自然”。

V a r []

$\mathrm{Var}[]$

V a r [\sum_{i} X_{i}] = \sum_{i} V a r [X_{i}]

$\mathrm{Var}[\sum_i X_i] = \sum_i \mathrm{Var}[X_i]$

X_{i}

$X_i$

— StijnDeVuyst'6

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确实，独立方差的可加性是一个基本属性，但这不是您的论点。

— 尼克·考克斯

也许有趣的是，与平均数一样，您可以构造一个无偏差的估计量而无需指定特定的分布（标准偏差的无偏差估计值是特定于分布的。）

— Scortchi-恢复莫妮卡