为什么算术平均值小于对数正态分布中的分布平均值？

所以，我有一个随机过程生成数正态分布随机变量$X$。这是相应的概率密度函数：

我想估计分配是原始分配的几个时刻，让我们说第一次的时刻：算术平均值。为此，我绘制了100个随机变量10000次，以便可以计算10000次算术平均值估计。

有两种不同的方法可以估算均值（至少，这是我的理解：我可能是错的）：

1. 通过清楚地计算的算术平均值以通常的方式： $$\bar{X} = \sum_{i=1}^N \frac{X_i}{N}.$$
2. 或先根据基本正态分布估算和μ：μ = N ∑ i = 1 log （X i$\sigma$$\mu$然后平均值作为 ˉ X =EXP（μ+ $$\mu = \sum_{i=1}^N \frac{\log (X_i)}{N} \quad \sigma^2 = \sum_{i=1}^N \frac{\left(\log (X_i) - \mu\right)^2}{N}$$ $$\bar{X} = \exp(\mu + \frac{1}{2}\sigma^2).$$

问题在于，与每个这些估计相对应的分布在系统上是不同的：

“普通”平均值（用红色虚线表示）提供的值通常比从指数形式（绿色纯线）得出的值低。尽管这两个均值都是在完全相同的数据集上计算得出的。请注意，这种差异是系统性的。

为什么这些分布不相等？

$N$$\exp[\mu+1/2\sigma^2]$

$\bar X\to_pE(X_i)$

$$\exp[\hat\mu+1/2\hat\sigma^2]\to_p\exp[\mu+1/2\sigma^2],$$ $\hat\mu\to_p\mu$$\hat\sigma^2\to_p\sigma^2$

但是，MLE并非一帆风顺。

$N$$\hat\mu$$\hat\sigma^2$$N=100$$N-1$$\mu$$\sigma^2$

$E(\hat\mu+1/2\hat\sigma^2)\approx\mu+1/2\sigma^2$

$$E[\exp(\hat\mu+1/2\hat\sigma^2)]>\exp[E(\hat\mu+1/2\hat\sigma^2)]\approx \exp[\mu+1/2\sigma^2]$$

$N=100$

$N=1000$

创建于：

N <- 1000
reps <- 10000

mu <- 3
sigma <- 1.5
mm <- mle <- rep(NA,reps)

for (i in 1:reps){
  X <- rlnorm(N, meanlog = mu, sdlog = sigma)
  mm[i] <- mean(X)

  normmean <- mean(log(X))
  normvar <- (N-1)/N*var(log(X))
  mle[i] <- exp(normmean+normvar/2)
}
plot(density(mm),col="green",lwd=2)
truemean <- exp(mu+1/2*sigma^2)
abline(v=truemean,lty=2)
lines(density(mle),col="red",lwd=2,lty=2)

> truemean
[1] 61.86781

> mean(mm)
[1] 61.97504

> mean(mle)
[1] 61.98256

$\exp(\mu+\sigma^2/2)$

$$V_t = (\sigma^2 + \sigma^4/2)\cdot \exp\left\{2(\mu + \frac 12\sigma^2)\right\},$$ $$\exp\left\{2(\mu + \frac 12\sigma^2)\right\}(\exp\{\sigma^2\}-1)$$ $$\exp\{\sigma^2\}>1+\sigma^2 + \sigma^4/2,$$ $\exp(x)=\sum_{i=0}^\infty x^i/i!$$\sigma^2>0$

$N$N <- c(50,100,200,500,1000,2000,3000,5000)

$N$$N$$N=50$

> tail(sort(mm))
[1] 336.7619 356.6176 369.3869 385.8879 413.1249 784.6867
> tail(sort(mle))
[1] 187.7215 205.1379 216.0167 222.8078 229.6142 259.8727