我们如何知道滚动1和2的概率是1/18？

自从我第一次上概率课以来，我一直在想以下问题。

通常通过“有利事件”与总可能事件之比来引入计算概率。滚动两个6面骰子的情况下，可能的事件数量为，如下表所示。$36$

$$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|} \hline &1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & (1,1) & (1,2) & (1,3) & (1,4) & (1,5) & (1,6) \\ \hline 2 & (2,1) & (2,2) & (2,3) & (2,4) & (2,5) & (2,6) \\ \hline 3 & (3,1) & (3,2) & (3,3) & (3,4) & (3,5) & (3,6) \\ \hline 4 & (4,1) & (4,2) & (4,3) & (4,4) & (4,5) & (4,6) \\ \hline 5 & (5,1) & (5,2) & (5,3) & (5,4) & (5,5) & (5,6) \\ \hline 6 & (6,1) & (6,2) & (6,3) & (6,4) & (6,5) & (6,6) \\ \hline \end{array}$$

因此，如果我们对计算事件A“滚动和 ” 的概率感兴趣，我们将看到有两个“有利事件”，并将事件的概率计算为。$1$$2$$\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$

现在，让我一直感到疑惑的是：假设不可能将两个骰子区分开，并且只有在掷骰子之后才能观察它们，例如，我们会观察到“有人给了我一个盒子。我打开盒子。有一个和一个 “。在这种假设的情况下，我们将无法区分两个骰子，因此我们将不知道有两个可能的事件导致此观察。然后我们可能发生的事件是这样的：$1$$2$

$$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|} \hline (1,1) & (1,2) & (1,3) & (1,4) & (1,5) & (1,6) \\ \hline & (2,2) & (2,3) & (2,4) & (2,5) & (2,6) \\ \hline & & (3,3) & (3,4) & (3,5) & (3,6) \\ \hline & & & (4,4) & (4,5) & (4,6) \\ \hline & & & & (5,5) & (5,6) \\ \hline & & & & & (6,6) \\ \hline \end{array}$$

并且我们将事件A的概率计算为。$\frac{1}{21}$

同样，我完全意识到第一种方法将引导我们找到正确的答案。我问自己的问题是：

我们怎么知道$\frac{1}{18}$是正确的？

我想出的两个答案是：

• 我们可以凭经验进行检查。我对此很感兴趣，但我必须承认自己还没有做到这一点。但我相信情况会如此。
• 实际上，我们可以区分骰子，就像一个骰子是黑色的，另一个是蓝色的一样，或者在一个骰子之前扔一个，或者只是知道可能的事件，然后所有标准理论都起作用。$36$

我对您的问题是：

• 还有什么其他原因让我们知道是正确的？（我很确定肯定有一些（至少是技术上的）原因，这就是我发布此问题的原因）$\frac{1}{18}$
• 是否有一些基本的论据反对假设我们根本无法区分骰子？
• 如果我们假设无法区分骰子并且无法凭经验检查概率，那么甚至是正确的还是我忽略了某些东西？$P(A) = \frac{1}{21}$

感谢您抽出宝贵的时间阅读我的问题，我希望它足够具体。

想象一下，您将自己公平的六面骰子扔了出去，就得到了⚀。结果令人着迷，以至于给你的朋友戴夫打电话并告诉了他。由于他很好奇扔六面模时会得到什么，他把它扔了，得到了got。

标准模具具有六个侧面。如果你不那么欺骗它的土地上以相同的概率各侧，即的倍。与另一侧相同，您投掷⚀的概率为。您抛出⚀ 和朋友抛出⚁ 的概率为因为两个事件是独立的，并且我们相乘独立概率。换句话说，这种对的排列可以很容易地列出（就像您已经做过的那样）。相反事件（您掷出⚁而朋友掷出⚀）的可能性也是$1$$6$$\tfrac{1}{6}$$\tfrac{1}{6} \times \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{36}$$36$$\tfrac{1}{36}$。概率，你扔⚀，和你的朋友抛出⚁，或者说你扔⚁，和你的朋友抛出⚀，是独特的，因此我们将它们添加。在所有可能的安排中，有两个满足此条件。$\tfrac{1}{36} + \tfrac{1}{36} = \tfrac{2}{36}$

我们怎么知道所有这些？好吧，基于概率，组合逻辑和逻辑，但是这三个需要一些事实知识来依靠。我们根据成千上万的赌徒的经验和一些物理学知识知道，没有理由相信一个公平的六面骰子除了在两面都有着落的可能性外，还没有其他理由。同样，我们没有理由怀疑两个独立的抛出之间存在某种联系并相互影响。

您可以想象一个盒子，其中的票证使用从到所有组合（重复）。那将可能的结果数限制为并改变了概率。但是，如果您以骰子的形式来考虑这样的定义，那么您将不得不想象以某种方式粘合在一起的两个骰子。这与两个骰子有很大不同，两个骰子可以独立运行，并且可以以相同的概率被单独扔到每一侧而不会互相影响。$2$$1$$6$$21$

话虽这么说，但有人需要评论说这样的模型是可能的，但对于骰子却不是。例如，在基于经验观察的粒子物理学中，似乎不可区分粒子的Bose-Einstein统计量（另请参见“ 星条理论”）比可区分粒子模型更合适。您可以在Peter Whittle的《概率论》或《通过期望的概率论》中找到有关这些模型的一些评论，或者在William Feller撰写的《概率论及其应用入门》第一卷中找到有关这些模型的评论。

我认为您忽略了这样一个事实，即“我们”是否可以区分骰子并不重要，而是骰子是唯一且与众不同的，并按照自己的意愿行事是很重要的。

因此，如果在密闭箱的情况下，你打开盒子，看到一个1和2，你不知道它是否是或（2 ，1 ），因为你不能区分骰子。然而，无论是（1 ，2 ）和（2 ，1 ）会导致你看到相同的视觉，即1和2，因此，有两种结果有利于该视觉。类似地，对于每个不相同的对，都有两种有利于每种视觉的结果，因此有36种可能的结果。$(1,2)$$(2,1)$$(1,2)$$(2,1)$

在数学上，事件概率的公式是事件

$$\dfrac{\text{Number of outcomes for the event}}{\text{Number of total possible outcomes}}.$$

但是，该公式仅适用于每个结果均等可能的情况。在第一个表中，这些对中的每一个均具有相同的可能性，因此公式成立。在第二张表中，每种结果的可能性均不相同，因此该公式无效。使用表格查找答案的方式是

图1和2 =概率的概率 +的概率（2 ，1 ） = $(1,2)$$(2,1)$。$\dfrac{1}{36} + \dfrac{1}{36} = \dfrac{1}{18}$

对此进行思考的另一种方法是，该实验与分别滚动每个裸片的完全相同，您可以在其中发现Die 1和Die2。因此，结果及其概率将与封闭盒实验匹配。

让我们想象一下，第一种情况涉及滚动一个红色骰子和一个蓝色骰子，而第二种情况涉及您滚动一对白色骰子。

在第一种情况下，可以将所有可能的结果记为（红色骰子，蓝色骰子），从而为您提供此表（从您的问题中复制而来）： 我们理想化的骰子是公平的（每个结果同样是可能的），你已经列出的每个结果。基于此，您可以正确地得出结论，一个和两个出现的可能性为

$$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \frac{\textrm{Blue}}{\textrm{Red}}&1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & (1,1) & \mathbf{(1,2)} & (1,3) & (1,4) & (1,5) & (1,6) \\ \hline 2 & \mathbf{(2,1)} & (2,2) & (2,3) & (2,4) & (2,5) & (2,6) \\ \hline 3 & (3,1) & (3,2) & (3,3) & (3,4) & (3,5) & (3,6) \\ \hline 4 & (4,1) & (4,2) & (4,3) & (4,4) & (4,5) & (4,6) \\ \hline 5 & (5,1) & (5,2) & (5,3) & (5,4) & (5,5) & (5,6) \\ \hline 6 & (6,1) & (6,2) & (6,3) & (6,4) & (6,5) & (6,6) \\ \hline \end{array}$$ 或$\frac{2}{36}$到目前为止，一切都很好。$\frac{1}{18}.$

接下来，假设您掷两个相同的骰子。您已正确列出了所有可能的结果，但您错误地假设所有这些结果均具有相同的可能性。特别是结果的可能性是其他结果的一半。因此，您不能仅仅通过将期望结果的数量与结果总数相加来计算概率。相反，您需要根据每个结果的发生概率来对其加权。如果您进行数学运算，您会发现结果是相同的-分子中有一个双可能事件，而15个双可能事件和6个单例事件中。$(n,n)$

下一个问题是“我怎么知道这些事件并非都一样发生？” 考虑这一点的一种方法是想象如果您可以区分两个骰子会发生什么。也许您在每个模具上都留下了微小的痕迹。这不能改变结果，但是可以减少前一个问题。或者，假设您将图表写出，以便它显示为“左模具” /“右模具”而不是“蓝色/红色”。

作为进一步的练习，请考虑看到有序结果（红色= 1，蓝色= 2）与无序结果（一个模具显示1，一个模具显示2）之间的差异。

关键思想是，如果您列出两个可区分的骰子的36种可能结果，那么您列出的是同样可能的结果。这不是显而易见的，也不是公理的。只有当您的骰子是公平的并且没有某种联系时才是真的。如果列出无法区分的骰子的结果，则它们的可能性也不大，因为为什么要如此，除了“赢得彩票”和“不赢得彩票”的结果之外，其他可能性也一样。

要得出结论，您需要：

• 我们正在使用公平的骰子，所有六个数字的可能性均相等。
• 这两个骰子是独立的，因此第二个骰子获得特定数字的概率始终与第一个骰子给出的数字无关。（想象一下，将同一个模具在某种类型的粘性表面上滚动两次，使第二次滚动变得不同。）

给定关于情况的两个事实，概率规则告诉您，获得任意一对的概率是在第一个模具上获得a的概率乘在第二个模具上获得b的概率。如果您开始将（a ，b ）和（b ，a ）集中在一起，那么事件就不再具有简单的事件独立性来帮助您，因此您不能仅乘以几率。相反，您已经收集了互斥事件（如果a ≠ b），因此可以安全地添加获取事件的概率。$(a,b)$$a$$b$$(a,b)$$(b,a)$$a \neq b$和（b ，a ）如果不同。$(a,b)$$(b,a)$

只计算可能性就可以得到概率的想法依赖于概率和独立性相等的假设。这些假设在现实中很少得到验证，但几乎总是在课堂问题中得到验证。

如果将其翻译成硬币的话-例如，翻转两个无法区分的便士-这将变成只有三个结果的问题：2个正面，2个反面，每个反面1个，这个问题更容易发现。运用相同的逻辑，我们发现获得2个正面或2个反面的可能性更大。

那就是第二张表的滑溜溜-它代表了所有可能的结果，即使它们并非像在第一张表中一样都是加权的概率。试图拼写出第二张表中的每一行和每一列的含义是不明确的-它们仅在组合表中有意义，其中每个结果都有一个框，无论可能性如何，而第一个表显示“所有骰子1的可能性均等，每个骰子都有自己的行，”而列和骰子2的结果类似。

让我们从假设开始：不可区分的骰子只会掷出21个可能的结果，而可区分的骰子只会掷出36个可能的结果。

要测试差异，请获得一对相同的白色骰子。用紫外线吸收剂（如防晒霜）涂上一层，肉眼看不见。直到您在黑光下观察骰子时，骰子仍然无法区分，当清洁的骰子发光时，涂层的骰子显示为黑色。

将一对骰子隐藏在盒子中并摇晃。打开盒子，您得到2和1的几率是多少？凭直觉，您可能会认为“掷1和2”只是21种可能结果中的1种，因为您无法区分骰子。但是，如果您在黑灯下打开盒子，则可以将它们区分开。当您可以区分骰子时，“掷1和2”是36个可能的组合中的2个。

这是否意味着即使将骰子只暴露在光线下并在掷骰子后进行观察，黑光也有能力改变获得特定结果的可能性？当然不是。停止摇晃盒子后，没有任何改变。给定结果的可能性不变。

由于原始假设取决于不存在的更改，因此可以合理地断定原始假设是不正确的。但是最初的假设又是不正确的-难以区分的骰子只会掷出21个可能的结果，或者可区分的骰子掷出36个可能的结果？

显然，黑光实验表明观察对概率（至少在此范围内-量子概率是不同的问题）或物体的清晰度没有影响。术语“无法区分”仅描述观察无法与其他事物区分开的事物。换句话说，骰子在某些情况下看起来是相同的（即它们不是处于黑灯之下），而在其他情况下却并非如此，这一事实并不能证明它们确实是两个截然不同的对象。即使从未发现您能够区分它们的情况，也是如此。

简而言之：在分析特定结果的可能性时，区分掷骰子的能力无关紧要。每个芯片本质上是不同的。所有结果都基于这一事实，而不是观察者的观点。

我们可以推断出您的第二张表不能准确表示该方案。

您已经消除了对角线以下和左角的所有像元，假设（1，2）和（2，1）是全等的，因此是多余的结果。

相反，假设您连续滚动两次骰子。将1-then-2计算为与2-then-1相同的结果是否有效？显然不是。即使第二滚动结果不取决于第一滚动结果，它们仍然是不同的结果。您不能消除重排作为重复项。现在，一次滚动两个骰子的目的与连续滚动两次骰子的目的相同。因此，您无法消除重排。

（仍然不敢相信？这是一个类比。您从房屋走到山顶。明天您走回去。在同一天的两天中是否有任何时间点？也许？现在想象一下您从房子走到山顶，然后在同一天，另一个人从山顶走到您的房子。那天您有什么时候见面的？显然是的，他们是同一个问题。在发生纠结的事件时，不会更改可以从这些事件中得出的推论。）

如果我们只是观察到“有人给我一个盒子。我打开盒子。有一个 $1$ 和一个 $2$“，没有进一步的信息，我们对该概率一无所知。

如果我们知道两个骰子是公平的并且已经掷骰，那么所有其他答案都解释了，该概率为1/18。我们不知道是否先掷出1的骰子或掷出2的骰子是无关紧要的事实，因为我们必须同时考虑这两种方式-因此概率是1/18而不是1/36。

但是，如果我们不知道哪个过程导致了1-2组合，那么我们就不知道任何有关概率的信息。也许把盒子交给我们的人是故意选择了这个组合，然后将骰子粘在盒子上（概率= 1），或者也许他把盒子掷向骰子（概率= 1/18），或者他可能随机选择了一个您在问题中提供给我们的表格中的21种组合中的组合，因此概率为1/21。

总之，我们知道概率，因为我们知道导致最终情况的过程是什么，并且我们可以计算每个阶段的概率（每个骰子的概率）。即使我们没有看到它发生，该过程也很重要。

为了回答这个问题，我将举几个有关流程很重要的示例：

• 我们掷十枚硬币。十次全都领先的概率是多少？您可以看到，如果我们只是选择一个介于0到10（1/11）之间的随机数，则概率（1/1024）远小于获得10的概率。
• 如果您很喜欢这个问题，可以尝试Monty Hall问题。这是一个类似的问题，其中过程比我们的直觉期望的重要得多。

通过将两个概率相乘来计算事件A和B的概率。

当有六个可能的选项时，滚动1的概率为1/6。有六个可能的选项时，掷出2的概率为1/6。

1/6 * 1/6 = 1/36。

但是，该事件不是按时间顺序进行的（换句话说，不需要在1之前先掷1；在两个位上都掷1和2）。

因此，我可以先滚动1然后再滚动2并满足滚动1和2的条件，或者我可以先滚动2然后再滚动1并满足滚动1和2的条件。

先滚动2再滚动1的概率具有相同的计算：

1/6 * 1/6 = 1/36。

A或B的概率是概率之和。因此，假设事件A滚动1到2，事件B滚动2然后1。

事件A的概率：1/36事件B的概率：1/36

1/36 + 1/36 = 2/36，减少到1/18。