联合完成充分统计量：统一（a，b）

令 $\mathbf{X}= (x_1, x_2, \dots x_n)$ 是上均匀分布的随机样本 $(a,b)$ ，其中 $a < b$ 。令 $Y_1$ 和 $Y_n$ 为最大和最小阶统计量。证明统计量 $(Y_1, Y_n)$ 是参数的共同完全充分统计量 $\theta = (a, b)$ 。

对我来说，使用因式分解显示足够是没有问题的。

问题：如何显示完整性？最好是我想要一个提示。

尝试：我可以证明 $\mathbb E[g(T(x))] = 0$ 表示 $g(T(x)) = 0$ 对于一个参数均匀分布，但是我陷入了两个参数均匀分布的困境。

我尝试使用 $\mathbb E[g(Y_1, Y_n)]$ 并使用 $Y_1$ 和的联合分布 $Y_n$ ，但是由于微积分使我绊倒，所以我不确定我的方向是否正确。

— 爱慕
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请添加[self-study]标签并阅读其 Wiki。请注意，可以通过放置美元来使用Latex格式进行数学运算，例如 $x$ 产生

。我试图排版一些数学，但是如果您对结果不满意，可以随时更改或还原。你可能会喜欢的符号为

，而不是用于

。

x

$x$ $\vec x$

\vec{x}

$\vec x$ $\mathbf x$

x

$\mathbf x$

— 银鱼

让我们为您处理常规演算，以便您深入了解问题并享受制定解决方案。归结为将矩形构造为三角形的并集和差。

首先，选择使细节尽可能简单的和值。 $a$ $b$ 我喜欢：中的任何组分的单变量密度仅仅是间隔的指示器功能。 $a=0,b=1$ $X=(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ $[0,1]$

让我们找到分布函数的。 $F$ $(Y_1,Y_n)$ 根据定义，对于任何实数这是 $y_1 \le y_n$

\begin{matrix} (1) & F (y_{1}, y_{n}) = Pr (Y_{1} \leq y_{1} and Y_{n} \leq y_{n}) . \end{matrix}

$F(y_1,y_n) = \Pr(Y_1\le y_1\text{ and } Y_n \le y_n).\tag{1}$

如果或任何一个不在区间内，则的值显然为或，因此我们假定它们都在该区间内。（为了避免讨论琐碎性，我们也假设 ge2。）在这种情况下，事件可以根据原始变量为“至少一个小于或等于并且均不超过。” 同样，所有都位于 $F$ $0$ $1$ $y_1$ $y_n$ $[a,b] = [0,1]$ $n\ge 2$ $(1)$ $X=(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ $X_i$ $y_1$ $X_i$ $y_n$ $X_i$ $[0,y_n]$ 但并非所有人都位于。 $(y_1,y_n]$

因为是独立的，所以对于上述两个事件，它们的概率相乘并分别给出和。从而， $X_i$ $(y_n-0)^n = y_n^n$ $(y_n-y_1)^n$

F (y_{1}, y_{n}) = y_{n}^{n} - (y_{n} - y_{1})^{n} .

$F(y_1,y_n) = y_n^n - (y_n-y_1)^n.$

密度是的混合偏导， $f$ $F$

f (y_{1}, y_{n}) = \frac{\partial^{2} F}{\partial y_{1} \partial y_{n}} (y_{1}, y_{n}) = n (n - 1) (y_{n} - y_{1})^{n - 2} .

$f(y_1,y_n) = \frac{\partial^2 F}{\partial y_1 \partial y_n}(y_1,y_n) = n(n-1)(y_n-y_1)^{n-2}.$

的一般情况将变量缩放为系数，并将位置移位。 $(a,b)$ $b-a$ $a$ 因此，对于， $a \lt y_1 \le y_n \lt b$

F (y_{1}, y_{n}; a, b) = ({(\frac{y_{n} - a}{b - a})}^{n} - {(\frac{y_{n} - a}{b - a} - \frac{y_{1} - a}{b - a})}^{n}) = \frac{(y_{n} - a)^{n} - (y_{n} - y_{1})^{n}}{(b - a)^{n}} .

$F(y_1,y_n; a,b) = \left(\left(\frac{y_n-a}{b-a}\right)^n - \left(\frac{y_n-a}{b-a} - \frac{y_1-a}{b-a}\right)^n\right) = \frac{(y_n-a)^n - (y_n-y_1)^n}{(b-a)^n}.$

与以前一样区分

f (y_{1}, y_{n}; a, b) = \frac{n (n - 1)}{(b - a)^{n}} (y_{n} - y_{1})^{n - 2} .

$f(y_1,y_n; a,b) = \frac{n(n-1)}{(b-a)^n}(y_n-y_1)^{n-2}.$

考虑完整性的定义。 令为两个实变量的任何可测量函数。根据定义， $g$

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} E [g (Y_{1}, Y_{n})] & = \int_{y_{1}}^{b} \int_{a}^{b} g (y_{1}, y_{n}) f (y_{1}, y_{n}) d y_{1} d y_{n} \\ \propto \int_{y_{1}}^{b} \int_{a}^{b} g (y_{1}, y_{n}) (y_{n} - y_{1})^{n - 2} d y_{1} d y_{n} . \end{aligned} \end{matrix}

$\eqalign{E[g(Y_1,Y_n)] &= \int_{y_1}^b\int_a^b g(y_1,y_n) f(y_1,y_n)dy_1dy_n\\ &\propto\int_{y_1}^b\int_a^b g(y_1,y_n) (y_n-y_1)^{n-2} dy_1dy_n.\tag{2} }$

我们需要证明，当对于所有期望为零时，则可以确定对于任何。 $(a,b)$ $g=0$ $(a,b)$

这是你的提示。 令为任何可测量的函数。我想以建议的形式将其表示为。为此，显然我们必须将除以。不幸的是，对于无论何时都没有定义。 关键是该集合的度量为零，因此我们可以忽略它。 $h:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ $(2)$ $h(x,y)=g(x,y)(y-x)^{n-2}$ $h$ $(y-x)^{n-2}$ $n\gt 2$ $y-x$

因此，给定任何可测量的，定义 $h$

g (x, y) = {\begin{matrix} h (x, y) / (y - x)^{n - 2} & x \neq y \\ 0 & x = y \end{matrix}

$g(x,y) = \left\{\matrix{h(x,y)/(y-x)^{n-2} & x \ne y \\ 0 & x=y}\right.$

然后变为 $(2)$

\begin{matrix} (3) & \int_{y_{1}}^{b} \int_{a}^{b} h (y_{1}, y_{n}) d y_{1} d y_{n} \propto E [g (Y_{1}, Y_{n})] . \end{matrix}

$\int_{y_1}^b\int_a^b h(y_1,y_n) dy_1dy_n \propto E[g(Y_1,Y_n)].\tag{3}$

（当任务显示某物为零时，我们可以忽略非零的比例常数。在这里，我从左侧删除了。） $n(n-1)/(b-a)^{n-2}$

这是直角三角形上的整数，斜边从延伸到，顶点在。让我们表示这样一个三角形。 $(a,a)$ $(b,b)$ $(a,b)$ $\Delta(a,b)$

人机工程学，你需要证明的是，如果一个任意测函数的积分在所有的三角形是零，那么对于任何，（几乎肯定）所有。 $h$ $\Delta(a,b)$ $a\lt b$ $h(x,y)=0$ $(x,y)\in \Delta(a,b)$

尽管似乎我们还没有进一步，但请考虑完全包含在半平面任何矩形。可以用三角形表示： $[u_1,u_2]\times [v_1,v_2]$ $y \gt x$

[u_{1}, u_{2}] \times [v_{1}, v_{2}] = Δ (u_{1}, v_{2}) ∖ (Δ (u_{1}, v_{1}) \cup Δ (u_{2}, v_{2})) \cup Δ (u_{2}, v_{1}) .

$[u_1,u_2]\times [v_1,v_2] = \Delta(u_1,v_2) \setminus\left(\Delta(u_1,v_1) \cup \Delta(u_2,v_2)\right)\cup \Delta(u_2,v_1).$

在此图中，当我们删除重叠的红色和绿色三角形（将它们的棕色相交点加倍）然后替换它们的相交点时，矩形就是大三角形剩下的部分。

因此，您可以立即得出在所有此类矩形上的积分为零。 $h$ 仅剩下表明）每当时都必须为零（除了其在度量组0上的值）。这种（直观的）断言的证明取决于您要对集成的定义采用哪种方法。 $h(x,y)$ $y \gt x$

— ub
source

我试图将等式3设置为零，在两边都取导数并互换符号（我猜是反射动作），但是结果看起来很可怕[1]。有没有更合理的方法？[1] en.wikipedia.org/wiki/Leibniz_integral_rule#Higher_dimensions

— 马克恩

考虑所有较小的三角形的有限集合，它们都沿着图片中的斜边放置，并随着集合中最大三角形的直径变为零而取极限。

— ub