联合完成充分统计量:统一(a,b)


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X=(x1,x2,xn)上均匀分布的随机样本(a,b),其中a<b。令Y1Yn为最大和最小阶统计量。证明统计量(Y1,Yn)是参数θ = a b 的共同完全充分统计量θ=(a,b)

对我来说,使用因式分解显示足够是没有问题的。

问题:如何显示完整性?最好是我想要一个提示。

尝试:我可以证明E[g(T(x))]=0表示g(T(x))=0对于一个参数均匀分布,但是我陷入了两个参数均匀分布的困境。

我尝试使用E[g(Y1,Yn)]并使用Y1的联合分布Yn,但是由于微积分使我绊倒,所以我不确定我的方向是否正确。


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请添加[self-study]标签并阅读其 Wiki。请注意,可以通过放置美元来使用Latex格式进行数学运算,例如$x$产生。我试图排版一些数学,但是如果您对结果不满意,可以随时更改或还原。你可能会喜欢的符号为X,而不是用于Xx$\vec x$x$\mathbf x$x
银鱼

Answers:


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让我们为您处理常规演算,以便您深入了解问题并享受制定解决方案。归结为将矩形构造为三角形的并集和差。

首先,选择使细节尽可能简单的b值。ab 我喜欢:中的任何组分的单变量密度X = X 1X 2... X Ñ仅仅是间隔的指示器功能[ 0 1 ]a=0,b=1X=(X1,X2,,Xn)[0,1]

让我们找到分布函数Ÿ 1Ÿ ñF(Y1,Yn)根据定义,对于任何实数这是y1yn

(1)F(y1,yn)=Pr(Y1y1 and Ynyn).

如果或任何一个不在区间内,则的值显然为或,因此我们假定它们都在该区间内。(为了避免讨论琐碎性,我们也假设 ge2。)在这种情况下,事件可以根据原始变量为“至少一个小于或等于并且均不超过。” 同样,所有都位于F01y1yn[a,b]=[0,1]n2(1)X=(X1,X2,,Xn)Xiy1XiynXi[0,yn]但并非所有人都位于。 (y1,yn]

因为是独立的,所以对于上述两个事件,它们的概率相乘并分别给出和。从而,Xi(yn0)n=ynn(yny1)n

F(y1,yn)=ynn(yny1)n.

密度是的混合偏导,fF

f(y1,yn)=2Fy1yn(y1,yn)=n(n1)(yny1)n2.

的一般情况将变量缩放为系数,并将位置移位。(a,b)baa 因此,对于,a<y1yn<b

F(y1,yn;a,b)=((ynaba)n(ynabay1aba)n)=(yna)n(yny1)n(ba)n.

与以前一样区分

f(y1,yn;a,b)=n(n1)(ba)n(yny1)n2.

考虑完整性的定义。 令为两个实变量的任何可测量函数。根据定义,g

(2)E[g(Y1,Yn)]=y1babg(y1,yn)f(y1,yn)dy1dyny1babg(y1,yn)(yny1)n2dy1dyn.

我们需要证明,当对于所有期望为零时,则可以确定对于任何。(a,b)g=0(a,b)

这是你的提示。 令为任何可测量的函数。我想以建议的形式将其表示为。为此,显然我们必须将除以。不幸的是,对于无论何时都没有定义。 关键是该集合的度量为零,因此我们可以忽略它。h:R2R(2)h(x,y)=g(x,y)(yx)n2h(yx)n2n>2yx

因此,给定任何可测量的,定义h

g(x,y)={h(x,y)/(yx)n2xy0x=y

然后变为(2)

(3)y1babh(y1,yn)dy1dynE[g(Y1,Yn)].

(当任务显示某物为零时,我们可以忽略非零的比例常数。在这里,我从左侧删除了。)n(n1)/(ba)n2

这是直角三角形上的整数,斜边从延伸到,顶点在。让我们表示这样一个三角形。(a,a)(b,b)(a,b)Δ(a,b)

人机工程学你需要证明的是,如果一个任意测函数的积分在所有的三角形是零,那么对于任何,(几乎肯定)所有。hΔ(a,b)a<bh(x,y)=0(x,y)Δ(a,b)

尽管似乎我们还没有进一步,但请考虑完全包含在半平面任何矩形。可以用三角形表示:[u1,u2]×[v1,v2]y>x

[u1,u2]×[v1,v2]=Δ(u1,v2)(Δ(u1,v1)Δ(u2,v2))Δ(u2,v1).

该图显示了三个三角形重叠以产生矩形

在此图中,当我们删除重叠的红色和绿色三角形(将它们的棕色相交点加倍)然后替换它们的相交点时,矩形就是大三角形剩下的部分。

因此,您可以立即得出在所有此类矩形上的积分为零。h 仅剩下表明)每当时都必须为零(除了其在度量组0上的值)。这种(直观的)断言的证明取决于您要对集成的定义采用哪种方法。h(x,y)y>x


我试图将等式3设置为零,在两边都取导数并互换符号(我猜是反射动作),但是结果看起来很可怕[1]。有没有更合理的方法?[1] en.wikipedia.org/wiki/Leibniz_integral_rule#Higher_dimensions
马克恩

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考虑所有较小的三角形的有限集合,它们都沿着图片中的斜边放置,并随着集合中最大三角形的直径变为零而取极限。
ub
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