让我们为您处理常规演算,以便您深入了解问题并享受制定解决方案。归结为将矩形构造为三角形的并集和差。
首先,选择使细节尽可能简单的和b值。ab 我喜欢:中的任何组分的单变量密度X = (X 1,X 2,... ,X Ñ)仅仅是间隔的指示器功能[ 0 ,1 ]。a=0,b=1X=(X1,X2,…,Xn)[0,1]
让我们找到分布函数的(Ÿ 1,Ÿ ñ)。F(Y1,Yn)根据定义,对于任何实数这是y1≤yn
F(y1,yn)=Pr(Y1≤y1 and Yn≤yn).(1)
如果或任何一个不在区间内,则的值显然为或,因此我们假定它们都在该区间内。(为了避免讨论琐碎性,我们也假设 ge2。)在这种情况下,事件可以根据原始变量为“至少一个小于或等于并且均不超过。” 同样,所有都位于F01y1yn[a,b]=[0,1]n≥2(1)X=(X1,X2,…,Xn)Xiy1XiynXi[0,yn]但并非所有人都位于。 (y1,yn]
因为是独立的,所以对于上述两个事件,它们的概率相乘并分别给出和。从而,Xi(yn−0)n=ynn(yn−y1)n
F(y1,yn)=ynn−(yn−y1)n.
密度是的混合偏导,fF
f(y1,yn)=∂2F∂y1∂yn(y1,yn)=n(n−1)(yn−y1)n−2.
的一般情况将变量缩放为系数,并将位置移位。(a,b)b−aa 因此,对于,a<y1≤yn<b
F(y1,yn;a,b)=((yn−ab−a)n−(yn−ab−a−y1−ab−a)n)=(yn−a)n−(yn−y1)n(b−a)n.
与以前一样区分
f(y1,yn;a,b)=n(n−1)(b−a)n(yn−y1)n−2.
考虑完整性的定义。 令为两个实变量的任何可测量函数。根据定义,g
E[g(Y1,Yn)]=∫by1∫bag(y1,yn)f(y1,yn)dy1dyn∝∫by1∫bag(y1,yn)(yn−y1)n−2dy1dyn.(2)
我们需要证明,当对于所有期望为零时,则可以确定对于任何。(a,b)g=0(a,b)
这是你的提示。 令为任何可测量的函数。我想以建议的形式将其表示为。为此,显然我们必须将除以。不幸的是,对于无论何时都没有定义。 关键是该集合的度量为零,因此我们可以忽略它。h:R2→R(2)h(x,y)=g(x,y)(y−x)n−2h(y−x)n−2n>2y−x
因此,给定任何可测量的,定义h
g(x,y)={h(x,y)/(y−x)n−20x≠yx=y
然后变为(2)
∫by1∫bah(y1,yn)dy1dyn∝E[g(Y1,Yn)].(3)
(当任务显示某物为零时,我们可以忽略非零的比例常数。在这里,我从左侧删除了。)n(n−1)/(b−a)n−2
这是直角三角形上的整数,斜边从延伸到,顶点在。让我们表示这样一个三角形。(a,a)(b,b)(a,b)Δ(a,b)
人机工程学,你需要证明的是,如果一个任意测函数的积分在所有的三角形是零,那么对于任何,(几乎肯定)所有。hΔ(a,b)a<bh(x,y)=0(x,y)∈Δ(a,b)
尽管似乎我们还没有进一步,但请考虑完全包含在半平面任何矩形。可以用三角形表示:[u1,u2]×[v1,v2]y>x
[u1,u2]×[v1,v2]=Δ(u1,v2)∖(Δ(u1,v1)∪Δ(u2,v2))∪Δ(u2,v1).
在此图中,当我们删除重叠的红色和绿色三角形(将它们的棕色相交点加倍)然后替换它们的相交点时,矩形就是大三角形剩下的部分。
因此,您可以立即得出在所有此类矩形上的积分为零。h 仅剩下表明)每当时都必须为零(除了其在度量组0上的值)。这种(直观的)断言的证明取决于您要对集成的定义采用哪种方法。h(x,y)y>x
[self-study]
标签并阅读其 Wiki。请注意,可以通过放置美元来使用Latex格式进行数学运算,例如$x$
产生。我试图排版一些数学,但是如果您对结果不满意,可以随时更改或还原。你可能会喜欢的符号为→ X,而不是用于X。$\vec x$
$\mathbf x$