逆指数分布的均值

给定一个随机变量，G = 1的均值和方差是多少$Y = Exp(\lambda)$？$G=\dfrac{1}{Y}$

我看了逆伽玛分布，但均值和方差仅分别针对和α > 2进行了定义...$\alpha>1$$\alpha>2$

假设反指数分布的，您会发现反指数均值为∞。因此，反指数的方差是不确定的。$\alpha = 1$$\infty$

如果呈反指数分布，则E （G r）存在且对于r < 1是有限的，对于r = 1是= ∞。$G$$E(G^r)$$r < 1$$= \infty$$r = 1$

我将显示指数分布均值的计算，以便它使您回想起这种方法。然后，我将使用相同的方法求逆指数。

鉴于$f_Y(y) = \lambda e^{-\lambda y}$

$E[Y] = \int_0^\infty{yf_Y(y) dy}$

$= \int_0^\infty{y \lambda e^{-\lambda y} dy}$

$= \lambda \int_0^\infty{y e^{-\lambda y} dy}$

按部分积分（暂时忽略积分前面的），$\lambda$

$u = y, dv=e^{-\lambda y} dy$

$du = dy, v = \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y}$

$= y \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} - \int_0^\infty{ \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} dy}$

$= y \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} + \frac{1}{\lambda} \int_0^\infty{ e^{-\lambda y} dy}$

$= y \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} - \frac{1}{\lambda^2} e^{-\lambda y}$

$\lambda$

$= - y e^{-\lambda y} - \frac{1}{\lambda} e^{-\lambda y}$

$0$$\infty$

$= (0 - 0) - \frac{1}{\lambda} (0 - 1)$

$= \lambda^{-1}$

这是一个已知的结果。

$G = \frac{1}{Y}$

$E[G] = E[\frac{1}{Y}]= \int_0^\infty{\frac{1}{y} f_Y(y) dy}$

$= \int_0^\infty{\frac{1}{y} \lambda e^{-\lambda y} dy}$

$= \lambda \int_0^\infty{\frac{1}{y} e^{-\lambda y} dy}$

主要区别在于对于零件的集成，

$u = y^{-1}$

和

$du = -1y^{-2}$

所以对于并没有帮助$G = \frac{1}{y}$

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+from+0+to+infinity+(1%2Fx)+exp(-x)+dx

$\alpha=1$$\alpha \gt 2$

经过快速仿真（在R中），平均值似乎不存在：

n<-1000
rates <- c(1,0.5,2,10)

par(mfrow = c(2,2))
for(rate in rates)
{
  plot(cumsum(1/rexp(n, rate))/seq(1,n),type='l',main = paste0("Rate = ",rate),
       xlab = "Sample size", ylab = "Empirical Mean")
}

为了进行比较，以下是真正的指数随机变量发生的情况。