期望值与最可能值（模式）

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分布的期望值是平均值，即加权平均值 $f(x)$

E [x] = \int_{- \infty}^{+ \infty} x f (x) d x

$E[x]=\int_{-\infty}^{+\infty} x \, \, f(x) dx$

最可能的值是众数，即最可能的值。

但是，我们期望以某种方式看到很多次吗？从这里报价： $E[x]$

如果结果的概率不相等，则必须用加权平均值代替简单的平均值，这要考虑到某些结果比其他结果更有可能的事实。然而，直觉保持不变：的期望值是人们期望平均发生的值。 $x_i$ $x$

我不明白“平均发生”是什么意思，这是否意味着，从长远来看，我希望花很多时间才能看到 $E[x]$ 比其他值更多 $x$ ？但这不是模式的定义吗？

那么如何解释该陈述？的概率含义是 $E[x]$ 什么？

我还想举个例子，让我感到困惑。通过研究分布，我了解到模式为，而，其中是数据的自由度。 $\chi^2$ $\chi^2_{mode}=\nu-2$ $E[\chi^2]=\nu$ $\nu$

我在大学听说，在使用最小二乘法拟合一组数据后进行测试时，我应该期望得到因为“这通常会发生”。 $\chi^2$ $\chi^2 \approx \nu$

我是否误解了所有这些，或者期望值是否很有可能？（即使最可能的值当然是模式）

— 索伦
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4

我真的很喜欢这个问题的即取即用隐喻的功能，因为它产生了一个简单，清晰的答案：对随机变量的期望是其值的总和（如在票据上所绘）除以票数。而已。任何不遵循该定义的陈述（或更复杂的数学等效形式）都只是一种试探法，在某些情况下可能很不正确。

— ub

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对于正态分布，期望值（即平均值）等于众数。

通常，不仅期望值不仅是最可能的（或最高密度的），而且可能没有发生的可能性。例如，考虑等于0或2的随机变量X，每个概率为0.5。则EX = 1，但期望值1出现的概率为0，而0和2均为分布模式。

“ x的期望值是一个人期望平均发生的事情”这句话是非技术性的外行语言，这种混淆可以证明，这只会使事情变得混乱。期望值是概率的数学平均值，具有非常特定的含义。以外行的语言来说，期望值或“平均”可能是通常期望发生的事情。如果将“平均”解释为所发生事件的数学平均值，则可以对这些进行协调。

期待您的

乔·阿维尔

— 马克·L·斯通
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1

提出一个问题：关于中位数的保证是可能的？

— 明亮的星星，

正如@TrevorAlexander所说，模式也不提供任何保证。考虑连续分布的模式。

— 蒂姆

3

@Trevor Alexander总是有一个可能的中位数（正概率或密度）。但是，并非所有的中位数都是可能的。随机变量X的值是任何点m为其中

和

。如果X等于1,2,3或4，每个概率1/4，则任意数量在区间[2,3]是X的中值

P (X \leq m) \geq 1 / 2

$P(X \le m) \ge 1/2$

P (X \geq m) \geq 1 / 2

$P(X \ge m) \ge 1/2$

— 标记L.石

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期望值是一个非常抽象的先验值，没有理由认为它是最可能的结果。正如其他人指出的那样，很容易构造随机变量如果是连续的，则与密度相同）

P (X = E (X)) = 0

$P( X = E(X) ) = 0$

X

$X$

期望值的唯一依据以及我们“期望经常看到它”的原因是大数定律：

如果您有独立的，均匀分布的变量，则 $n$ $X_i$

\frac{X_{1} + \dots + X_{n}}{n} \to E (X)

$\frac {X_1 + \dots + X_n}{n} \to E(X)$

（对于的适当含义，目前尚无意义） $\to$

这是什么意思？想象一下，您以概率投掷硬币着陆头的，我们将与数字相关联，着陆尾部的概率（即）。最可能的结果是什么？1！（即头）期望值是多少？ $p> \frac 12$ $1$ $1-p$ $0$

E (X) = 1 \cdot p + 0 \cdot (1 - p) = p

$E(X) = 1\cdot p + 0\cdot(1-p) = p$

现在显然“ p”将永远不会发生（它是头还是尾，要么是0，要么是1）。

但是，将硬币发射10.000次，并记录其超过总掷出次数的次数。该数字记录了我们直观地想到的平均值（“平均头数”）。大数定律告诉您，这个数将接近 $E(X) = p$

— 蚂蚁
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我不会说大数定律是期望值的唯一理由。例如，en.wikipedia.org / wiki /…是考虑效用函数的期望值的理由（我尚未研究过证明，但是如果它以某种方式基于大数定律，我会感到惊讶）。

— Juho Kokkala '16年

3

我不喜欢“期望值”一词，在教授概率时也没有使用它。我认为“算术平均值”更好，因为6面模具的算术平均值为3.5，但不会出现这样的数字。我上大学时确实听说过“期望值”一词。许多技术术语与明显的非技术含义不一致。（我想到的是“或”。）

请注意，分布可能具有多个模式，但算术平均值是唯一的。众数，均值和中位数不同，用途也不同。

— tw
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1

上一个不错的“或”。这让我想起了我在线性编程课程中学习的几种替代定理。它们的格式为“要么A为真，要么B为真，但不能同时为真”。将它表示为A xor B会容易得多。在随意的街头交谈中，我听不到xor的使用。

— 马克·L·斯通

2

使用离散分布最容易看出该差异：

考虑两组值，每个值都有可能相等地绘制出来：{1,2,2,2,10}和{1,2,2,2,3}。

两者具有相同的模式（2），但期望值不同。期望值将较大的值放在额外的权重上，而该模式仅查找频繁出现的值。因此，如果您从该分布中抽出很多次，则样本平均值将接近预期值，而最常见的整数将接近于众数。

$mode=arg{\max{f(x)}}$ $x*f(x)$

学习统计学时，使用语言区分中心趋势的不同度量标准是一个常见问题。例如，中位数是另一种度量值，不会因平均值之类的较大值而产生偏差。

— VCG
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