用单个级别面板数据指定差异模型中差异的正确方法是什么？

这里是设置：假设我在城市中嵌入了多年的个人级别面板数据，并且处理方式在城市年份级别上有所不同。形式上，让为个别的结果在城市和年和对是否干预影响城市的虚拟在一年。典型的DiD估算器（例如Bertrand等人（2004，第250页）中概述的估算器）基于简单的OLS模型，其中具有针对城市和年份的固定影响项：我小号吨d 小号吨小号$y_{ist}$$i$$s$$t$$D_{st}$$s$$t$

$$y_{ist} = A_{s} + B_t + cX_{ist} + \beta D_{st} + \epsilon_{ist}$$

但是，该估计量是否忽略了个人层面的面板结构（即，对城市中每个人的多次观察）？用个体水平的固定效应项扩展该模型是否有意义？许多DiD应用程序使用重复的横截面数据，而没有单独级别的面板数据。$S_i$

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Bertrand，Marianne，Esther Duflo和Sendhil Mullainathan。2004年。“我们应该相信差异差异估计有多少？” 经济学季刊119（1）：249–75。

差异差异（DiD）的一个不错的功能实际上是您不需要面板数据。鉴于治疗发生在某种程度的汇总（在您所在的城市）中，您只需要在治疗前后从城市中随机抽样。这样就可以估算

$$y_{ist} = A_g + B_t + \beta D_{st} + c X_{ist} + \epsilon_{ist}$$ 并获得治疗的因果关系，即治疗的预期事后预后差异减去对照的预期事后预后差异。

在某些情况下，人们使用单独的固定效应而不是治疗指标，这是当我们没有明确定义的发生治疗的聚集水平时。在这种情况下，你会估计 其中d 我吨是用于后处理期间谁接受的治疗的个体的指示器（用于例如遍布各地的就业市场计划）。有关更多信息，请参阅这些讲义

$$y_{it} = \alpha_i + B_t + \beta D_{it} + cX_{it}+\epsilon_{it}$$ $D_{it}$ 史蒂夫·皮施克（Steve Pischke）。

在您的设置中，添加单独的固定效果不会改变点估计。治疗指标会被各个固定效应所吸收。但是，这些固定的效果可能会吸收一些残差，因此有可能降低DiD系数的标准误差。$A_g$

这是一个代码示例，它说明了这种情况。我使用Stata，但您可以在您选择的统计数据包中复制它。这里的“个人”实际上是国家，但仍根据某些治疗指标进行分组。

* load the data set (requires an internet connection)
use "http://dss.princeton.edu/training/Panel101.dta"

* generate the time and treatment group indicators and their interaction
gen time = (year>=1994) & !missing(year)
gen treated = (country>4) & !missing(country)
gen did = time*treated

* do the standard DiD regression
reg y_bin time treated did

------------------------------------------------------------------------------
       y_bin |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
        time |       .375   .1212795     3.09   0.003     .1328576    .6171424
     treated |   .4166667   .1434998     2.90   0.005       .13016    .7031734
         did |  -.4027778   .1852575    -2.17   0.033    -.7726563   -.0328992
       _cons |         .5   .0939427     5.32   0.000     .3124373    .6875627
------------------------------------------------------------------------------

 * now repeat the same regression but also including country fixed effects
 areg y_bin did time treated, a(country)

------------------------------------------------------------------------------
       y_bin |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
        time |       .375    .120084     3.12   0.003     .1348773    .6151227
     treated |          0  (omitted)
         did |  -.4027778   .1834313    -2.20   0.032    -.7695713   -.0359843
       _cons |   .6785714    .070314     9.65   0.000       .53797    .8191729
-------------+----------------------------------------------------------------

因此，您会看到当包含各个固定效果时，DiD系数保持不变（这areg是Stata中可用的固定效果估计命令之一）。标准误差稍微严格一些，我们原来的治疗指标已被各个固定效应所吸收，因此在回归分析中下降了。

在回应评论时，
我提到了Pischke示例，以说明人们何时使用个人固定效果而不是治疗组指标。您的设置具有定义良好的组结构，因此您编写模型的方式非常好。标准错误应集中在城市级别，即进行治疗的汇总级别（我在示例代码中没有做到这一点，但在DiD设置中，需要校正标准错误，如Bertrand等人的论文所示） ）。

$D_{st}$$s$$t$

$$c = \left[ E(y_{ist}|s=1,t=1) - E(y_{ist}|s=1,t=0)\right] - \left[ E(y_{ist}|s=0,t=1) - E(y_{ist}|s=0,t=0)\right]$$

$E(y_{ist}|s=1,t=1)$$E(y_{ist}|s=0,t=1)$。为了弄清楚为什么识别来自时间上的组差异，而不是来自动子，您可以使用简单的图形将其可视化。假设结果的变化确实仅是由于治疗而引起的，并且具有同时效应。如果我们有一个人在治疗开始后住在一个治疗过的城市，但随后又转移到一个对照城市，那么他们的结果应该回到治疗之前的状态。如下图所示。

但是，您可能仍会出于其他原因考虑移动器。例如，如果治疗具有持久作用（即，即使个体已经移动，它仍然会影响结果）

简短的答案是，在单位或治疗组水平使用固定效应不会改变估计，只能推论。通常，使用单位固定效果将吸收更多的变化，因此标准误差较小。

单位是否在同一聚合组中不会更改此结果（它只会更改您定义已处理组级别的方式，以及需要面板而不是重复横截面的事实）。

但是请注意，等价仅在没有协变量X时成立。一旦有了X，则无论使用单位固定效果还是组固定效果，结果都不同。

下面的示例比较了有和没有X的两种情况下的3个估计量。估计量为：

1. 最小二乘
2. FE（治疗）组固定效果
3. 单元固定效果的有限元

#>              OLS         FE treated  FE unit   OLS x       FE treated x  FE unit x
#> ----------------------------------------------------------------------------------
#> (Intercept)   0.500 ***                         0.491 ***                         
#>              (0.094)                           (0.107)                            
#> did          -0.403 *    -0.403 *    -0.403 *  -0.407 *    -0.407 *      -0.460 * 
#>              (0.185)     (0.185)     (0.183)   (0.189)     (0.189)       (0.187)  
#> x1                                              0.018       0.018         0.220   
#>                                                (0.104)     (0.104)       (0.165)  
#> ----------------------------------------------------------------------------------
#> Num. obs.    70          70          70        70          70            70       
#> ==================================================================================
#> *** p < 0.001, ** p < 0.01, * p < 0.05

码：

library(tidyverse)
library(haven)
library(texreg)
library(lfe)


dat <- read_dta("http://dss.princeton.edu/training/Panel101.dta")  %>% 
  mutate(time = (year>=1994) ,
         treated = (country>4),
         did = time*treated)

reg_ols <- lm(y_bin~ time+ treated+ did, data = dat)
reg_fe_a <- felm(y_bin~ did | time+ treated, data = dat)
reg_fe_b <- felm(y_bin~ did | time+ country, data = dat)

reg_ols_x <- update(reg_ols, .~.+x1)
reg_fe_a_x <- update(reg_fe_a, .~.+x1)
reg_fe_b_x <- update(reg_fe_b, .~.+x1)



screenreg(list(reg_ols, reg_fe_a, reg_fe_b, reg_ols_x, reg_fe_a_x, reg_fe_b_x), 
          omit.coef = "time|treated", digits=3, 
          include.rsquared = FALSE, include.adjrs = FALSE, include.rmse = FALSE,
          custom.model.names = c("OLS", "FE treated", "FE unit", "OLS x", "FE treated x", "FE unit x"))