查找

考虑从均匀分布提取的3个iid样本，其中是参数。我想找到其中是订单统计。 $u(\theta, 2\theta)$ $\theta$

E [X_{(2)} | X_{(1)}, X_{(3)}]

$\mathbb{E}\left[X_{(2)}| X_{(1)}, X_{(3)}\right]$

X_{(i)}

$X_{(i)}$

i

$i$

我希望结果是但是我唯一能显示此结果的方法似乎也是冗长，我无法提出简单的解决方案，我是否缺少某些东西，是否有一些捷径？

E [X_{(2)} | X_{(1)}, X_{(3)}] = \frac{X_{(1)} + X_{(3)}}{2}

$\mathbb{E}\left[X_{(2)}| X_{(1)}, X_{(3)}\right] = \frac{X_{(1)}+ X_{(3)}}{2}$

我要做的是以下几点：

我发现条件密度

$f (x_{(2)} | x_{(1)}, x_{(3)}) = \frac{f (x_{(1)}, x_{(2)}, x_{(3)})}{f (x_{(1)}, x_{(3)})}$ $f(x_{(2)}| x_{(1)}, x_{(3)}) = \frac{ f(x_{(1)}, x_{(2)}, x_{(3)})}{f(x_{(1)}, x_{(3)})}$
我整合

E [X_{(2)} | X_{(1)}, X_{(3)}] = \int x f (x | x_{(1)}, x_{(3)}) d x

$\mathbb{E}\left[X_{(2)}| X_{(1)}, X_{(3)}\right] = \int x f(x| x_{(1)}, x_{(3)}) dx$

细节：

我采用阶数统计密度的通用公式（以表示集合的指标） $\mathbb{I}_{\{A\}}$ $A$

f_{x_{(1)}, \dots, x_{(n)}} (x_{1}, \dots, x_{n}) = n! \prod_{i = 1}^{n} f_{x} (x_{i}) I_{{x_{(1)} \leq x_{(2)} \leq \dots \leq x_{(n)}}} (x_{1}, \dots, x_{n})

$f_{x_{(1)},\ldots , x_{(n)}}(x_1,\cdots, x_n) = n! \prod_{i=1}^n f_{x}(x_i)\mathbb{I}_{\{x_{(1)} \leq x_{(2)} \leq \cdots \leq x_{(n)}\}}(x_1,\cdots, x_n)$

为了我的情况

f_{x_{(1)}, x_{(2)}, x_{(3)}} (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 3! \frac{1}{θ^{3}} I_{{x_{1} \leq x_{2} \leq \dots \leq x_{n}}} (x_{1}, \dots, x_{3})

$f_{x_{(1)}, x_{(2)}, x_{(3)}}(x_1, x_2, x_3) = 3!\frac{1}{\theta^3}\mathbb{I}_{\{x_1 \leq x_2 \leq \cdots \leq x_n\}}(x_1,\cdots, x_3)$

边际为 $f_{x_{(1)}, x_{(3)}}(u, v)$

f_{x_{(1)}, x_{(3)}} (u, v) = \int f_{x_{(1)}, x_{(2)}, x_{(3)}} (u, x_{2}, v) d x_{2}

$f_{x_{(1)}, x_{(3)}}(u, v) = \int f_{x_{(1)}, x_{(2)}, x_{(3)}}(u, x_2, v) dx_2$

那是

f_{x_{(1)}, x_{(3)}} (u, v) = \int 3! \frac{1}{θ^{3}} I_{{x_{1} = u \leq x_{2} \leq x_{3} = v}} (u, x, v) d x = 3! \frac{1}{θ^{3}} [v - u]

$f_{x_{(1)}, x_{(3)}}(u, v) = \int 3!\frac{1}{\theta^3}\mathbb{I}_{\{x_1 = u \leq x_2 \leq x_3 = v\}}(u, x, v) dx = 3!\frac{1}{\theta^3} [v-u]$

为此

f (x_{(2)} | x_{(2)} = u, x_{(3)} = v) = \frac{f (x_{(1)} = u, x_{(2)}, x_{(3)} = v)}{f (x_{(1)} = u, x_{(3)} = v)} = \frac{3! \frac{1}{θ^{3}} I_{u \leq x_{2} \leq \dots \leq v} (u, x_{2}, v)}{3! \frac{1}{θ^{3}} [v - u]} = [v - u]^{- 1} I_{{u < x_{2} < v}}

$f(x_{(2)}| x_{(2)} = u, x_{(3)} = v) = \frac{ f(x_{(1)} = u, x_{(2)}, x_{(3)} = v)}{f(x_{(1)}= u, x_{(3)} = v)} = \frac{3!\frac{1}{\theta^3}\mathbb{I}_{u \leq x_2 \leq \cdots \leq v}(u,x_2, v) }{3!\frac{1}{\theta^3} [v-u]}= [v-u]^{-1}\mathbb{I}_{\{u<x_2<v\}}$

这使

E [X_{(2)} | X_{(1)} = u, X_{(3)} = v] = [v - u]^{- 1} \int_{u}^{v} x d x = [v - u]^{- 1} \frac{[v^{2} - u^{2}]}{2} = \frac{u + v}{2}

$\mathbb{E}\left[X_{(2)}| X_{(1)} = u, X_{(3)} = v\right] = [v-u]^{-1}\int_{u}^{v} x dx = [v-u]^{-1}\frac{ [v^2 - u^2]}{2} = \frac{u+v}{2}$

uniform conditional-expectation order-statistics

— 他们
source

我没看你做了什么，但是你得到了

的答案

，不是

\frac{u - v}{2}

$\frac{u - v}{2}$

\frac{u + v}{2}

$\frac{u + v}{2}$

— Mark L. Stone

@ MarkL.Stone你是对的......我固定的，最后一行，积分

是不正确。

\int x d x

$\int x dx$

— 他们

由于均具有均匀分布，因此所有（无序）变量均假定为独立的，并且和之间没有其他顺序统计量，在区间。其平均值显然是 $X_i$ $X_{(1)}$ $X_{(3)}$ $X_{(2)}$ $[X_{(1)}, X_{(3)}]$ $(X_{(1)}+X_{(3)})/2$ ，QED。

如果要进行正式演示，请注意，当是具有绝对连续分布 iid时，的条件密度（取决于所有其他阶次统计量）是，这是截断的分布。（当， $X_i$ $F$ $X_{(k)}$ $dF(x_k)/(F(x_{(k+1)}) - F(x_{(k-1)}))$ $k=1$ $F(x_{0})$ $0$ $k=n$ $F(x_{n+1})$ $1$

— ub
source

当你写的时候

d F (x_{k})

$dF(x_k)$ 您指的是X的概率密度，对吗？

— 他们

对，那是正确的。根据定义，

d F （ X ） = \frac{d F}{d X} （ X ） d X 。

$dF(x)=\frac{d F}{d x}(x)\,dx.$ （从技术上讲，我应该把它称为“概率元素”，而不是“密度”。）

— ub