从“均匀间隔”的样本开始在单位磁盘上进行回归

我需要解决单位磁盘上的一个复杂的回归问题。最初的问题吸引了一些有趣的评论，但不幸的是没有答案。同时，我学到了更多有关此问题的知识，因此，我将尝试将原始问题分解为子问题，并查看这次是否运气更好。

我有40个温度传感器，它们定期以单位圆盘内的窄环间隔开：

这些传感器会及时获取温度。但是，由于时间变化远小于空间变化，因此我们通过忽略时间变化来简化问题，并假设每个传感器只给我一个时间平均值。这意味着我有40个样本（每个传感器一个），并且没有重复的样本。

我想根据传感器数据建立回归曲面。回归有两个目标：$T=f(\rho,\theta)+\epsilon$

1. 我需要估算平均径向温度曲线。通过线性回归，我已经估算出了一个表面，该表面是平均温度表面，因此，我只需要针对积分我的表面，对吗？如果我使用多项式进行回归，那么这一步应该是小菜一碟。$T_{mean}=g_1(\rho)+\epsilon$$\theta$
2. 我需要估算径向温度曲线，这样在每个径向位置。P （Ť （ρ ）< Ť 95（ρ ））= $T_{95}=g_2(\rho)+\epsilon$$P(T(\rho)<T_{95}(\rho))=.95$

给定这两个目标，我应该使用哪种技术对单位磁盘进行回归？当然，高斯过程通常用于空间回归。但是，为单位磁盘定义一个好的内核并不是一件容易的事，因此，我想保持简单并使用多项式，除非您认为这是一个失败的策略。我读过有关Zernike多项式的信息。Zernike多项式似乎适用于单位圆上的回归，因为它们在是周期性的。$\theta$

选择模型后，我需要选择一种估算程序。由于这是一个空间回归问题，因此应将不同位置的错误关联起来。普通最小二乘法假设存在不相关的错误，因此我想广义最小二乘会更合适。假设gls标准R分布中有一个函数，则GLS似乎是一种相对普遍的统计技术。但是，我从未使用过GLS，并且对此表示怀疑。例如，如何估计协方差矩阵？一个可行的示例，即使只有几个传感器，也将是很棒的。

PS我选择使用Zernike多项式和GLS，因为在我看来这样做是合乎逻辑的。但是，我不是专家，如果您觉得我走错了方向，请随意使用完全不同的方法。

我认为您正在思考类似 Zernike多项式的正确方法。如jwimberly的回答所述，这些是磁盘上正交基函数系统的示例。我不熟悉Zernike多项式，但是许多其他的正交函数族（包括Bessel函数）在古典数学物理学中自然而然地作为某些偏微分方程的本征函数出现（在撰写本文时，该链接顶部的动画甚至显示了一个振动鼓头的示例）。

我想到两个问题。首先，如果您所追求的只是径向轮廓（平均），那么您需要对空间图案多少约束？其次，时空数据中会出现哪些类型的变异性？$\theta$

关于第一个问题，我想到了两个问题。由于极坐标，每个传感器的支撑区域具有的趋势。第二个问题是混叠的可能性，本质上是传感器相对于图案的相位未对准（使用傅立叶/贝塞尔类比）。注意，在限制峰值温度（即）时，混叠可能是主要的不确定因素。Ť $r$$T_{95}$

关于第二个问题，数据可变性实际上可以帮助解决任何混叠问题，从本质上允许任何未对准都可以在不同的测量结果上求平均值。（假设没有系统的偏见……但是，对于任何一种方法，如果没有例如物理模型来提供更多信息的方法，这都是一个问题）。

因此，一种可能性是仅在传感器位置定义空间正交函数。这些“经验正交函数”可以通过PCA在时空数据矩阵上进行计算。（可能您可以使用一些权重来考虑可变的传感器支撑区域，但是考虑到统一的极坐标网格和径向平均值的目标，可能不需要这样做。）

注意，如果有是可用于在温度“预期的”变体的任何物理建模数据，生成致密的时空计算网格可用的，那么相同的PCA过程可以被应用到该数据以导出正交函数。（在工程中，通常将其称为“ 适当的正交分解 ”，用于模型简化，例如，可以提取昂贵的计算流体动力学模型以用于进一步的设计活动。）

最后的评论是，如果您要按支撑面积（即，极性像元大小）对传感器数据进行加权，那么在GLS框架中，这将是对角协方差的一种。（尽管加权PCA会密切相关，但这将更适用于您的预测问题。）

我希望这有帮助！

更新：在我看来，新的传感器分布图极大地改变了一切。如果你想在磁盘内部估计的温度，你需要一个多前相比更多的信息只是“单位磁盘组正交函数”。传感器数据中的信息太少。

如果您确实想估计磁盘上的空间温度变化，那么我看到的唯一合理的方法是将问题视为数据同化之一。在这里，您至少需要基于一些基于物理的考虑来约束空间分布的参数形式（这些可能来自模拟，也可能来自具有相似动力学的系统中的相关数据）。

我不知道您的特定应用程序，但是如果是这样的话，那么我可以想象有大量的工程文献可供您选择合适的先验约束。（对于那种详细的领域知识，这可能不是最好的StackExchange网站。）

Zernlike多项式听起来并不是一个坏选择，因为它们已经具有和依赖性以及正交性。但是，由于您正在研究温度，因此可以说是Bessel函数，这可能是一个更合适且更广为人知的选择。这些是在研究圆柱物体/坐标系中的热流时提出的，因此有可能在物理上更合适。第n个贝塞尔函数将给出与极坐标依赖的三角函数相关的径向依赖；您可以在许多物理和PDE教科书中找到详细信息。$r$$\theta$