预期值与非正态分布中的均值，中位数等有何关系？

连续随机变量的期望值在非正态分布（例如偏正态）中如何与算术平均值，中位数等相关？我对任何常见/有趣的分布都感兴趣（例如，对数正态分布，简单的双向/多峰分布，其他任何奇怪而奇妙的分布）。

我主要在寻找定性答案，但是也欢迎任何定量或公式化答案。我特别希望看到任何使其更清晰的视觉表示。

（部分从我现在上面删除的评论中转换而来）

期望值和算术平均值完全相同。中位数以非平凡的方式与均值相关，但是您可以对它们之间的关系说几件事：

• 当分布对称时，均值和中位数相同

• 当分布出现负偏斜时，中位数通常大于平均值

• 当分布正偏时，中位数通常小于均值

对数正态分布随机变量的谐波，几何和算术平均值之间存在良好的关系$X \sim \mathcal{LN}\left( \mu,\sigma^2 \right)$。让

• $\mathrm{HM}(X) = \mathrm{e}^{\mu - \frac{1}{2}\sigma^2}$ （谐波平均值），
• $\mathrm{GM}(X) = \mathrm{e}^{\mu}$ （几何平均数），
• $\mathrm{AM}(X) = \mathrm{e}^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2}$ （算术平均值）。

不难看出，谐波与算术平均值的乘积得出了几何平均值的平方，即

$$\mathrm{HM}(X) \cdot \mathrm{AM}(X) = \mathrm{GM}^2(X).$$

由于所有的值都是正的，我们可以采取squre根发现的几何平均值$X$ 是的谐波平均值的几何平均值 $X$ 和的算术平均值 $X$，即

$$\mathrm{GM}(X) = \sqrt{ \mathrm{HM}(X) \cdot \mathrm{AM}(X) }.$$

此外，众所周知的HM-GM-AM不等式

$$\mathrm{HM}(X) \leq \mathrm{GM}(X) \leq \mathrm{AM}(X)$$

可以表示为

$$\mathrm{HM}(X) \cdot \sqrt{\mathrm{GVar}(X)} = \mathrm{GM}(X) = \dfrac{\mathrm{AM}(X)}{\sqrt{\mathrm{GVar}(X)}},$$

哪里 $\mathrm{GVar}(X) = \mathrm{e}^{\sigma^2}$ 是几何差异。

为了完整性，也存在一些均值定义不明确的分布。一个典型的例子是柯西分布（这个答案很好地解释了为什么）。另一个重要示例是指数小于2 的Pareto分布。

虽然在数学上均值和期望值定义相同是正确的，但是对于偏斜的分布，此命名约定会产生误导。

想象一下，您正在向一位朋友询问她所在城市的房价，因为您真的很喜欢那里，然后真正考虑搬到该城市。

如果房屋奖励的分配是单峰且对称的，那么您的朋友可以告诉您房屋的平均价格，实际上您可以期望在该平均值附近找到市场上的大多数房屋。

但是，如果住房价格的分布是单峰的并且是偏斜的，例如向右偏斜，而大多数房屋在较低的价格范围向左，而只有一些过高的房屋在右侧，则均值将“偏斜”到较高的价格。正确的。

对于这种单峰的，偏斜的房价分布，您可以期望在市场中位数附近找到大多数房屋。