柯西分布的样本均值的分布是什么？

通常，当一个人获得某分布的随机样本平均值（样本大小大于30）时，便会获得以平均值为中心的正态分布。但是，我听说柯西分布没有平均值。获取柯西分布的样本均值时，将获得什么分布？

基本上，对于柯西分布，是未定义的，那么是什么，的分布是什么？μ ˉ X ˉ $\mu_x$$\mu_{\bar{x}}$$\bar{x}$

如果是iid Cauchy则可以使用特征函数参数证明也是Cauchy：$X_1, \ldots, X_n$$(0, 1)$$\bar{X}$$(0, 1)$

$$\begin{align} \varphi_{\bar{X}}(t) &= \text{E} \left (e^{it \bar{X}} \right ) \\ &= \text{E} \left ( \prod_{j=1}^{n} e^{it X_j / n} \right ) \\ &= \prod_{j=1}^{n} \text{E} \left ( e^{it X_j / n} \right ) \\ &= \text{E} \left (e^{it X_1 / n} \right )^n \\ &= e^{- |t|} \end{align}$$

这是标准柯西分布的特征函数。更一般的柯西情况的证明基本上是相同的。$(\mu, \sigma)$

通常，当一个人获得某分布的随机样本平均值（样本大小大于30）时，便会获得以平均值为中心的正态分布。

不完全是。您正在考虑中央极限定理，该定理指出，给定具有有限方差的IID随机变量序列（其本身意味着有限均值），表达式在分配到正常分布收敛趋于无穷。不能保证变量的任何有限子集的样本均值将呈正态分布。$X_n$$μ$$\sqrt{n}[(X_1 + X_2 + \cdots + X_n)/n - μ]$$n$

但是，我听说柯西分布没有平均值。获取柯西分布的样本均值时，将获得什么分布？

就像GeoMatt22所说的那样，样本均值将由柯西自己分配。换句话说，柯西分布是一个稳定的分布。

注意，中心极限定理不适用于柯西分布的随机变量，因为它们没有有限的均值和方差。