独立对数正态随机变量的总和是否显示对数正态？

11

我试图理解为什么当您增加观察次数时，两个（或多个）对数正态随机变量的总和接近对数正态分布。我在网上看过，但没有发现任何结果。

显然，如果和是独立的对数正态变量，则根据指数和高斯随机变量的性质，也是对数正态的。但是，没有理由表明也是对数正态的。 $X$ $Y$ $X \times Y$ $X+Y$

然而

如果生成两个独立的对数正态随机变量和，并令，并重复多次此过程，则的分布将显示为对数正态。随着观察次数的增加，它甚至看起来更接近对数正态分布。 $X$ $Y$ $Z=X+Y$ $Z$

例如：生成一百万对后，Z的自然对数的分布在下面的直方图中给出。这显然很像正态分布，表明确实是对数正态。 $Z$

有没有人对本文有任何见解或参考，可能有助于理解？

— 肉饼
source

您是否假设

和

方差相等？如果模拟，则总和的对数不再看起来很正常。

X

$X$

Y

$Y$ xx <- rlnorm(1e6,0,3); yy <- rlnorm(1e6,0,1)

— Stephan Kolassa，

我确实假设方差相等-我将尝试另一个方差不均的情况，看看最终结果如何。

— 帕蒂

在2和3的方差下，我得到的东西看起来仍然很正常，看起来像是一个很小的歪斜。

— 帕蒂

1

浏览以前的问题可能会有所帮助。这里和这里都是潜在有用的论文。好看！

— Stephan Kolassa，

20

对数正态和的近似对数正态性是众所周知的经验法则；许多论文中都提到了它-以及网站上的许多帖子中都提到了这一点。

通过匹配前两个矩来获得对数正态和的对数正态近似有时称为Fenton-Wilkinson近似。

您可能会发现Dufresne的这份文档很有用（可在此处或此处获得）。

过去，我有时还会向人们指出米切尔的论文

Mitchell，RL（1968），
“对数正态分布的永久性”。
美国眼镜学会。58：1267-1272。

但这现在已在Dufresne的参考文献中涵盖了。

$n$

这是1000个模拟值的直方图，每个值都是5万个 iid对数法线之和的对数：

如您所见...日志非常偏斜，因此总和与对数正态不是很接近。

$n$ $n$

*我没有试图弄清楚有多少，但是，由于和的偏度（相当于平均值）的表现方式，几百万显然是不够的

$\mu=0$ $\sigma=4$

res <- replicate(1000,sum(rlnorm(50000,0,4)))
hist(log(res),n=100)

$n=10^6$

— Glen_b-恢复莫妮卡
source

您能否在图中添加用于制作直方图的参数（或代码段）？

— altroware

1

μ

$\mu$

μ = 0

$\mu=0$

σ

$\sigma$

μ = 0

$\mu=0$

σ

$\sigma$

4

$4$

4

$4$

— Glen_b-恢复莫妮卡

1

res <- replicate(1000,sum(rlnorm(50000,0,4))); hist(log(res),n=100)

26.5

$26.5$

2

可能为时已晚，但是我发现以下有关对数正态分布总和的论文涵盖了该主题。它不是对数正态的，但是有些完全不同并且很难使用。

— 伊万·斯维通科夫（Ivan Svetunkov）
source

1

2009杜佛尼的谏纸，这一个从2004年连同这个有用的纸盖在历史上数正态分布的总和的近似值，并给出总和数学结果。

$\mu$ $\sigma$

也许[本文]（http://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?arnumber=6029348）在特定情况下为您提供了一种对数正态和的中央极限定理，但仍有一个缺乏普遍性。无论如何，Glen_b给出的示例并不十分合适，因为在这种情况下，您可以轻松应用经典的中心极限定理，并且在这种情况下，对数正态总和当然是高斯。

$n\to \infty$

— 米米
source

1

您说在我的示例中“您可以轻松应用经典的中心极限定理”，但是如果您了解直方图显示的内容，显然您不能使用CLT来论证这种情况下n = 50000的正态近似适用；总和非常右偏，其对数仍然严重右偏。该示例的要点是，它甚至歪斜到无法通过对数正态进行近似（或者直方图看起来非常接近对称）。更差的近似值（例如法线）将*更糟* /

— Glen_b-恢复莫妮卡

我同意，但可能在您的示例中，要么未达到样本的数值收敛（1000次试验太少），要么未达到统计收敛性（5万个加数太少），但是对于无穷大的分布，应该高斯，因为我们处于CLT条件下，不是吗？

— 米米

1000个样本足以识别总和分布的形状-我们获取的样本数量并不会改变形状，而只是改变了我们所看到的形状。如果我们提取较大的样本，这种明显的偏斜将不会消失，只会变得更平滑。是的，50,000太少了，总和看起来不正常-偏斜非常大，日志仍然看起来非常偏斜。在看起来相当正常之前，它可能需要数百万美元。是的，CLT绝对适用；它是iid并且方差是有限的，因此标准化的手段必须最终达到正态性。

— Glen_b-恢复莫妮卡

1

对数正态定律广泛存在于物理现象上，例如，研究系统的任何缩放行为都需要这种变量分布的总和。我知道这篇文章（很长很长，如果您不是专家的话，可能会被忽略！），2003年发表的“对数正态随机变量总和中的广泛分布效应”（《欧洲物理杂志B凝聚态和复杂》系统32、513），并可以通过https://arxiv.org/pdf/physics/0211065.pdf进行访问。

— 胜利者
source