为什么大数定律不适用于苹果股价？

这是纽约时代的一篇文章，名为“ Apple面对大数定律”。它试图用大量定律来解释苹果股价的上涨。本文会导致哪些统计（或数学）错误？

— mpiktas
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我通过@Epigrad的博客找到了这篇文章：confounding.net/2012/03/12/…。

— mpiktas 2012年

（+1）感谢您在这里引起对本文的关注。

— 主教

我第二个最受好评的答案来自有关纽约时报文章的问题。我也想知道其他人将如何回答这个问题。我的回答与Epigrad的观点有些不同，我想知道是否还会有人发布它。

— mpiktas 2012年

Answers:

问题在于：苹果公司是如此之大，它违背了大数定律。

该定律也被称为黄金定理，其证明归功于17世纪的瑞士数学家雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli），该定律指出，变量会在大量结果样本中恢复为均值。对于最大的公司而言，这表明随着这些公司的成长，其高收益增长和股价的快速上涨将放缓。

这种混乱的混乱实际上是指三种不同的现象！

数量（定）律是概率论中表征基本情况的基本原理，在这种情况下，可以合理预期大样本对所采样的过程或总体提供越来越好的信息。的确，雅各布·伯努利是第一个认识到陈述和证明这种定理的人，该定理出现在他的遗post Ars Conjectandi于1713年（由侄子尼古拉斯·伯努利编辑）。

显然没有这样的法律有效地适用于苹果的成长。
回归均值的回归最早是由弗朗西斯·高尔顿（Francis Galton）在1880年代认可的。但是，它通常在业务分析师中未被重视。例如，在1933年初（大萧条时期），霍勒斯·塞克里斯特（Horace Secrist）发表了他的巨著，《商业中庸之胜》。 在其中，他大量研究了业务时间序列，并在每种情况下均发现了回归均值的证据。但是，未能认识到这是不可避免的数学现象，他坚称自己已经发现了业务发展的基本真理！这种将纯粹的数学模式误认为某种潜在的力量或趋势的结果的谬论（现在通常称为“回归谬论”）让人想起所引用的段落。

（值得注意的是，塞克里斯特是一位杰出的统计学家，是当时出版的最受欢迎的统计教科书之一的作者。在JSTOR上，您可以找到Harold Hotelling于1933年末在JASA发表的关于Triumph ...的详尽评论。随后与西克里斯特交换了信件，霍特林写道

我的评论……主要是警告读者不要得出结论，即商业公司趋于平庸……通过昂贵且长时间的数值研究来“证明”这样的数学结果……类似于证明乘法通过将大象排成一排，然后对许多其他种类的动物做同样的事情来摆桌子。表演虽然有趣，但具有一定的教学价值，对动物学或数学都不是重要的贡献。

[JASA Vol。29，第186号（1934年6月），第198和199页。）

在纽约时报通道似乎让苹果的业务数据同样的错误。
但是，如果继续阅读本文，我们很快就会发现作者的预期含义：

如果苹果的股价增长，甚至20％，每年为下一个十年，这远远低于目前的惊人的速度，它的$ 500强十亿市值将超过$万亿3 2022年。

当然，这是关于指数增长外推的陈述。因此，它包含马尔萨斯人口预测的回声。但是，外推的危害并不仅限于指数增长。马克·吐温（塞缪尔·克莱门斯（Samuel Clements））在密西西比河上的生活中嘲弄了肆意肆意的外推手（1883，第17章）：

现在，如果我想成为那些繁琐的科学人之一，并“继续”进行证明……通过近几年来发生的事情，在不久的将来会发生什么，这是个机会！...请注意：-

在一百七十六年的时间里，密西西比河下游缩短了242英里。那是每年平均琐事超过一英里和三分之一。因此，任何一个不会盲目或愚蠢的冷静人都可以看到，在距今一百万年前的明年一月的“旧石林志留纪时期”，密西西比河下游长达1300万英里，被卡住了。像钓鱼竿一样越过墨西哥湾。同样，任何人都可以看到，从现在起的七百四十二年，下密西西比河将只有一英里四分之三的距离，开罗和新奥尔良将汇聚在一起，并沿着一条宽阔的街道在舒适的道路上行走。唯一的市长和共同的议会议员。关于科学有一些有趣的东西。人们从这种琐碎的事实投资中获得了这样的批发猜想回报。”

（加了强调。）吐温的讽刺作品与商业分析师罗伯特·西赫拉（Robert Cihra）的这篇文章的报价相吻合：

如果您对未来进行足够的推断，则要维持这种增长，苹果就必须向地球上的每个男人，女人，孩子，动物和岩石出售iPhone。

（不幸的是，Cihra似乎没有听从自己的建议：他将这只股票定为“买入”。他可能是对的，不是凭其长处，而是凭借更大的傻瓜理论。）

如果我们认为本文的意思是“当心将以前的增长推算到未来”，那么我们会从中学到很多。认为这家公司是很好的选择的投资者，因为其市盈率很低（其中包括本文中引用的几位著名理财师），并不比一个多年前的吐温（Twain）s不休的“科学人才”更好。

与Bernoulli，Hotelling和Twain的更好的相识会提高本文的准确性和可读性，但最终似乎已使信息正确。

— ub
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那是我的主要收获。文章的作者没错。另一方面，他的“因为数学”理由是不合时宜的。

— Fomite 2012年

这是一个很好且均衡的答案！我想给这100分

— Siddharth Gopi 2013年

足够幽默的是，我刚刚写了一篇关于这个主题的博客文章：http : //confounding.net/2012/03/12/thats-not-how-the-law-of-large-numbers-works/

本质上，大数定律是，随着随机过程的试验次数增加，这些试验的均值将接近实际均值（或对更复杂分布的期望值）。因此，如果您一次抛硬币并获得正面，则您的正面概率为1.0，而随着您抛硬币的数量越来越多，您的头部将越来越接近0.50。

作者认为，由于与“大数定律”根本不相关的某些事情，苹果将来会遇到麻烦。即，随着苹果公司的成长，以绝对美元计算，股价，收益等相同百分比的增长变得越来越难。基本上，要坚持下去，苹果必须赢得越来越大的成功。

将其与趋于均值的随机过程的行为联系起来需要进行认真的精神体操。据我所知，断言是“您的产品真棒”是一个随机的过程，尽管苹果有“平均水平以上”的棒极了，但他们最终将趋向于“混蛋”。 ”。但这确实是对作者的慈善。

仅仅因为5000亿是一个庞大的数字，并不意味着它正在发挥作用。

— 方铁
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（+1）刚开始阅读本文时，我以为作者可能是将大量定律与均值回归混为一谈。然后，我进入了以“也称为黄金定理...”开头的段落。这听起来像是某人略读了L. Mlodinow的《醉汉之路：随机性如何统治我们的生活》（否则很有趣的读物），然后以为他们知道一些东西。

— 主教

“您的产品真棒”是一个随机过程，我可以感觉到现在正在创建一个新的统计分支。

— asjohnson 2012年

Andrew Gelman的博客也有讨论。andrewgelman.com/2012/02/...

— zbicyclist

没有理由认为特定公司的股价随时间推移代表着独立的，分布均匀的随机变量。

— 迪米特里（Dimitriy V. Masterov）
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是的，但是IID假设可以大大放宽，以使lln成立。

— mpiktas 2012年

但是您仍然需要独立性，除非您将金融视为轮盘赌的特殊情况，否则谈论股票的DGP毫无意义。但是在那种情况下，一定要回归均值将是更有用的概念，而不是LLN。我也不清楚LLN适用于随机过程。是价格本身，价格变化还是苹果的市值？最后，我不确定在上述三种情况中的任何一种情况下，样本均应随时间收敛到的期望值是否真的有意义。

— Dimitriy V. Masterov 2012年

迪米特里（Dimitriy），你的话很好听。不过，请注意，该文章（尽管很荒谬）是指伯努利的著作，即WLLN。因此，例如，我们可以摆脱不相关的变量而不是独立的随机变量，甚至是温和的相关性，只要它不随变量数量的增加而过快。

— 红衣主教2012年

@cardinal：我在发布该内容时先浏览了mathworld.wolfram.com/WeakLawofLargeNumbers.html（又称伯努利定理）的定义，该假设具有作为假设。这与Casella＆Berger对WLLN的定义一致。但是你当然是正确的。您可以将其放宽到有限时刻，而不必过多依赖，以使随机分量相互抵消。独立性太强了。

i i d

$iid$

x_{i}

$x_{i}$

— Dimitriy V. Masterov 2012年

是的，如果有人想对伯努利不满意，他们可以注意到，只要所有本质上就是切比雪夫不等式的直接应用。然后，人们看到只要，一切都可以解决。如果我们将感兴趣的相关陈述解释为概率，这甚至不需要的均值或方差是常数。当然，甚至存在WLLN的更一般形式。（顺便说一句。）

X_{i} \in L_{2}

$X_i \in L_2$

V a r (S_{n}) = o (n^{2})

$\mathrm{Var}(S_n) = o(n^2)$

X_{i}

$X_i$

{\bar{X}}_{n} - {\bar{μ}}_{n} \to 0

$\bar X_n - \bar{\mu}_n \to 0$

— 主教