F统计遵循F分布的证明

我很想知道为什么

F = \frac{(TSS - RSS) / (p - 1)}{RSS / (n - p)},

$F = \frac{(\text{TSS}-\text{RSS})/(p-1)}{\text{RSS}/(n-p)},$

其中是模型参数的数量，是观测值的数量，是总方差，是残差，遵循分布。 $p$ $n$ $TSS$ $RSS$ $F_{p-1,n-p}$

我必须承认，我什至没有尝试证明这一点，因为我不知道从哪里开始。

— 用户名
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Christoph Hanck和Francis已经给出了很好的答案。如果您仍然难以理解线性回归的f检验证明，请尝试签出teamdable.github.io/techblog/…。我写了一篇关于线性回归ftest证明的博客文章。它用韩语编写，但是可能几乎没有问题，因为它几乎都是数学公式。如果您仍然难以理解线性回归的f检验证明，希望对您有所帮助。

— 太浩

尽管此链接可以回答问题，但最好在此处包括答案的基本部分，并提供链接以供参考。如果链接的页面发生更改，仅链接的答案可能会失效。- 评分

— MKT -恢复莫妮卡

让我们显示一般情况下的结果，其中您的检验统计量公式是特例。一般情况下，我们需要验证该统计可以是，根据所述表征 $F$ 分布，被写为独立的比 $\chi^2$ RVS通过自由度划分。

让 $H_{0}:R^\prime\beta=r$ 与 $R$ 和 $r$ 已知的，非随机的和 $R:k\times q$ 具有列满秩 $q$ 。这代表了与常数项不同的回归变量的 $q$ 线性限制（与OP表示法不同）。因此，在@ user1627466的示例中，对应于将所有斜率系数设置为零的限制。 $k$ $p-1$ $q=k-1$

鉴于 $Var\bigl(\hat{\beta}_{\text{ols}}\bigr)=\sigma^2(X'X)^{-1}$ ，我们有

\begin{array}{rcl} R^{'} ({\hat{β}}_{ols} - β) \sim N (0, σ^{2} R^{'} (X^{'} X)^{- 1} R), \end{array}

$\begin{eqnarray*} R^\prime(\hat{\beta}_{\text{ols}}-\beta)\sim N\left(0,\sigma^{2}R^\prime(X^\prime X)^{-1} R\right), \end{eqnarray*}$ 以便（与

B^{- 1 / 2} = {R^{'} (X^{'} X)^{- 1} R}^{- 1 / 2}

$B^{-1/2}=\{R^\prime(X^\prime X)^{-1} R\}^{-1/2}$ 是一个“矩阵平方根”的

B^{- 1} = {R^{'} (X^{'} X)^{- 1} R}^{- 1}

$B^{-1}=\{R^\prime(X^\prime X)^{-1} R\}^{-1}$ ，通过，例如，Cholesky分解）

\begin{array}{rcl} n := \frac{B^{- 1 / 2}}{σ} R^{'} ({\hat{β}}_{ols} - β) \sim N (0, I_{q}), \end{array}

$\begin{eqnarray*} n:=\frac{B^{-1/2}}{\sigma}R^\prime(\hat{\beta}_{\text{ols}}-\beta)\sim N(0,I_{q}), \end{eqnarray*}$ 作为

\begin{array}{rcl} V a r (n) & = & \frac{B^{- 1 / 2}}{σ} R^{'} V a r ({\hat{β}}_{ols}) R \frac{B^{- 1 / 2}}{σ} \\ = & \frac{B^{- 1 / 2}}{σ} σ^{2} B \frac{B^{- 1 / 2}}{σ} = I \end{array}

$\begin{eqnarray*} Var(n)&=&\frac{B^{-1/2}}{\sigma}R^\prime Var\bigl(\hat{\beta}_{\text{ols}}\bigr)R\frac{B^{-1/2}}{\sigma}\\ &=&\frac{B^{-1/2}}{\sigma}\sigma^2B\frac{B^{-1/2}}{\sigma}=I \end{eqnarray*}$ ，其中第二行使用OLSE的方差。

此，如图中您关联的答案（还参见这里），是独立的

d := (n - k) \frac{{\hat{σ}}^{2}}{σ^{2}} \sim χ_{n - k}^{2},

$d:=(n-k)\frac{\hat{\sigma}^{2}}{\sigma^{2}}\sim\chi^{2}_{n-k},$ 其中

是通常的无偏误差方差估计，以

是在

回归的“剩余制造者矩阵”。

{\hat{σ}}^{2} = y^{'} M_{X} y / (n - k)

$\hat{\sigma}^{2}=y'M_Xy/(n-k)$

M_{X} = I - X (X^{'} X)^{- 1} X^{'}

$M_{X}=I-X(X'X)^{-1}X'$

X

$X$

所以，作为 $n'n$ 是在法线的二次形式

\begin{array}{rcl} \frac{\overset{\sim χ_{q}^{2}}{\overset{⏞}{n^{'} n}} / q}{d / (n - k)} = \frac{({\hat{β}}_{ols} - β)^{'} R {R^{'} (X^{'} X)^{- 1} R}^{- 1} R^{'} ({\hat{β}}_{ols} - β) / q}{{\hat{σ}}^{2}} \sim F_{q, n - k} . \end{array}

$\begin{eqnarray*} \frac{\overbrace{n^\prime n}^{\sim\chi^{2}_{q}}/q}{d/(n-k)}=\frac{(\hat{\beta}_{\text{ols}}-\beta)^\prime R\left\{R^\prime(X^\prime X)^{-1}R\right\}^{-1}R^\prime(\hat{\beta}_{\text{ols}}-\beta)/q}{\hat{\sigma}^{2}}\sim F_{q,n-k}. \end{eqnarray*}$ 特别是，下

H_{0} : R^{'} β = r

$H_{0}:R^\prime\beta=r$ ，这减少了统计

\begin{array}{rcl} F = \frac{(R^{'} {\hat{β}}_{ols} - r)^{'} {R^{'} (X^{'} X)^{- 1} R}^{- 1} (R^{'} {\hat{β}}_{ols} - r) / q}{{\hat{σ}}^{2}} \sim F_{q, n - k} . \end{array}

$\begin{eqnarray} F=\frac{(R^\prime\hat{\beta}_{\text{ols}}-r)^\prime\left\{R^\prime(X^\prime X)^{-1}R\right\}^{-1}(R^\prime\hat{\beta}_{\text{ols}}-r)/q}{\hat{\sigma}^{2}}\sim F_{q,n-k}. \end{eqnarray}$

为了说明，考虑的特殊情况 $R^\prime=I$ ， $r=0$ ， $q=2$ ，和。然后， $\hat{\sigma}^{2}=1$ $X^\prime X=I$

\begin{array}{rcl} F = {\hat{β}}_{ols}^{'} {\hat{β}}_{ols} / 2 = \frac{{\hat{β}}_{ols, 1}^{2} + {\hat{β}}_{ols, 2}^{2}}{2}, \end{array}

$\begin{eqnarray} F=\hat{\beta}_{\text{ols}}^\prime\hat{\beta}_{\text{ols}}/2=\frac{\hat{\beta}_{\text{ols},1}^2+\hat{\beta}_{\text{ols},2}^2}{2}, \end{eqnarray}$ 在OLS的平方欧几里德距离从通过元件的数量标准化原点估计-强调的是，由于

被平方标准的法线和因此

中，

分布可以被看作是一个“平均

分布。

{\hat{β}}_{ols, 2}^{2}

$\hat{\beta}_{\text{ols},2}^2$

χ_{1}^{2}

$\chi^2_1$

F

$F$

χ^{2}

$\chi^2$

如果您希望进行一点模拟（这当然不是证明！），在该模拟中对null进行测试，则 $k$ 回归变量都不重要-实际上它们无关紧要，因此我们模拟了null分布。

我们看到理论密度和蒙特卡洛检验统计量的直方图之间有很好的一致性。

library(lmtest)
n <- 100
reps <- 20000
sloperegs <- 5 # number of slope regressors, q or k-1 (minus the constant) in the above notation
critical.value <- qf(p = .95, df1 = sloperegs, df2 = n-sloperegs-1) 
# for the null that none of the slope regrssors matter

Fstat <- rep(NA,reps)
for (i in 1:reps){
  y <- rnorm(n)
  X <- matrix(rnorm(n*sloperegs), ncol=sloperegs)
  reg <- lm(y~X)
  Fstat[i] <- waldtest(reg, test="F")$F[2] 
}

mean(Fstat>critical.value) # very close to 0.05

hist(Fstat, breaks = 60, col="lightblue", freq = F, xlim=c(0,4))
x <- seq(0,6,by=.1)
lines(x, df(x, df1 = sloperegs, df2 = n-sloperegs-1), lwd=2, col="purple")

要查看问题和答案中测试统计信息的版本确实等效，请注意，空值对应于限制 $R'=[0\;\;I]$ ， $r=0$ 。

令 $X=[X_1\;\;X_2]$ 根据零下的系数被限制为零（在您的情况下，除常数以外的所有数，但要遵循的推导是通用的）进行划分。此外，让是适当地分配OLS估计。 $\hat{\beta}_{\text{ols}}=(\hat{\beta}_{\text{ols},1}^\prime,\hat{\beta}_{\text{ols},2}')'$

然后

R^{'} {\hat{β}}_{ols} = {\hat{β}}_{ols, 2}

$R'\hat{\beta}_{\text{ols}}=\hat{\beta}_{\text{ols},2}$ 和

R^{'} (X^{'} X)^{- 1} R \equiv \tilde{D},

$R^\prime(X^\prime X)^{-1}R\equiv\tilde D,$ 右下块

\begin{aligned} （ X^{Ť} X ）^{- 1个} & = {（ \begin{array}{cc} X_{1个}^{'} X_{1个} & X_{1个}^{'} X_{2} \\ X_{2}^{'} X_{1个} & X_{2}^{'} X_{2} \end{array} ）}^{- 1个} \\ \equiv （ \begin{array}{cc} \overset{〜}{一种} & \overset{〜}{乙} \\ \overset{〜}{C} & \overset{〜}{d} \end{array} ） \end{aligned}

$\begin{align*} (X^TX)^{-1}&=\left( \begin{array} {c,c} X_1'X_1&X_1'X_2 \\ X_2'X_1&X_2'X_2\end{array} \right)^{-1}\\&\equiv\left( \begin{array} {c,c} \tilde A&\tilde B \\ \tilde C&\tilde D\end{array} \right) \end{align*}$ 现在，使用对于分区逆结果以获得

\overset{〜}{d} = （ X_{2}^{'} X_{2} - X_{2}^{'} X_{1个} （ X_{1个}^{'} X_{1个} ）^{- 1个} X_{1个}^{'} X_{2} ）^{- 1个} = （ X_{2}^{'} {中号}_{X_{1个}} X_{2} ）^{- 1个}

$\tilde D=(X_2'X_2-X_2'X_1(X_1'X_1)^{-1}X_1'X_2)^{-1}=(X_2'M_{X_1}X_2)^{-1}$ 其中

M_{X_{1}} = I - X_{1} (X_{1}^{'} X_{1})^{- 1} X_{1}^{'}

$M_{X_1}=I-X_1(X_1'X_1)^{-1}X_1'$ 。

因此，的分子 $F$ 统计变为（没有由分割 $q$ ）

F_{n u m} = {\hat{β}}_{ols, 2}^{'} (X_{2}^{'} M_{X_{1}} X_{2}) {\hat{β}}_{ols, 2}

$F_{num}=\hat{\beta}_{\text{ols},2}'(X_2'M_{X_1}X_2)\hat{\beta}_{\text{ols},2}$ 接着，召回由Frisch-沃-Lovell的定理，我们可以写成

{\hat{β}}_{ols, 2} = (X_{2}^{'} M_{X_{1}} X_{2})^{- 1} X_{2}^{'} M_{X_{1}} y

$\hat{\beta}_{\text{ols},2}=(X_2'M_{X_1}X_2)^{-1}X_2'M_{X_1}y$ 使得

\begin{aligned} F_{n u m} & = y^{'} M_{X_{1}} X_{2} (X_{2}^{'} M_{X_{1}} X_{2})^{- 1} (X_{2}^{'} M_{X_{1}} X_{2}) (X_{2}^{'} M_{X_{1}} X_{2})^{- 1} X_{2}^{'} M_{X_{1}} y \\ = y^{'} M_{X_{1}} X_{2} (X_{2}^{'} M_{X_{1}} X_{2})^{- 1} X_{2}^{'} M_{X_{1}} y \end{aligned}

$\begin{align*} F_{num}&=y'M_{X_1}X_2(X_2'M_{X_1}X_2)^{-1}(X_2'M_{X_1}X_2)(X_2'M_{X_1}X_2)^{-1}X_2'M_{X_1}y\\ &=y'M_{X_1}X_2(X_2'M_{X_1}X_2)^{-1}X_2'M_{X_1}y \end{align*}$

$\text{USSR}-\text{RSSR}$

RSSR = y^{'} M_{X_{1}} y

$\text{RSSR}=y'M_{X_1}y$

y

$y$

X_{1}

$X_1$

H_{0}

$H_0$

T S S = \sum_{i} (y_{i} - \bar{y})^{2}

$TSS=\sum_i(y_i-\bar y)^2$

$\text{USSR}$

M_{X_{1}} y on M_{X_{1}} X_{2}

$M_{X_1}y\quad\text{on}\quad M_{X_1}X_2$

\begin{array}{rcl} USSR & = & y^{'} M_{X_{1}}^{'} M_{M_{X_{1}} X_{2}} M_{X_{1}} y \\ = & y^{'} M_{X_{1}}^{'} (I - P_{M_{X_{1}} X_{2}}) M_{X_{1}} y \\ = & y^{'} M_{X_{1}} y - y^{'} M_{X_{1}} M_{X_{1}} X_{2} ((M_{X_{1}} X_{2})^{'} M_{X_{1}} X_{2})^{- 1} (M_{X_{1个}} X_{2} ）^{'} {中号}_{X_{1个}} ÿ \\ = & ÿ^{'} {中号}_{X_{1个}} ÿ - ÿ^{'} {中号}_{X_{1个}} X_{2} （ X_{2}^{'} {中号}_{X_{1个}} X_{2} ）^{- 1个} X_{2}^{'} {中号}_{X_{1个}} ÿ \end{array}

$\begin{eqnarray*} \text{USSR}&=&y'M_{X_1}'M_{M_{X_1}X_2}M_{X_1}y\\ &=&y'M_{X_1}'(I-P_{M_{X_1}X_2})M_{X_1}y\\ &=&y'M_{X_1}y-y'M_{X_1}M_{X_1}X_2((M_{X_1}X_2)'M_{X_1}X_2)^{-1}(M_{X_1}X_2)'M_{X_1}y\\ &=&y'M_{X_1}y-y'M_{X_1}X_2(X_2'M_{X_1}X_2)^{-1}X_2'M_{X_1}y \end{eqnarray*}$

从而，

\begin{array}{rcl} RSSR - 苏联 & = & ÿ^{'} {中号}_{X_{1个}} ÿ - （ ÿ^{'} {中号}_{X_{1个}} ÿ - ÿ^{'} {中号}_{X_{1个}} X_{2} （ X_{2}^{'} {中号}_{X_{1个}} X_{2} ）^{- 1个} X_{2}^{'} {中号}_{X_{1个}} ÿ ） \\ = & ÿ^{'} {中号}_{X_{1个}} X_{2} （ X_{2}^{'} {中号}_{X_{1个}} X_{2} ）^{- 1个} X_{2}^{'} {中号}_{X_{1个}} ÿ \end{array}

$\begin{eqnarray*} \text{RSSR}-\text{USSR}&=&y'M_{X_1}y-(y'M_{X_1}y-y'M_{X_1}X_2(X_2'M_{X_1}X_2)^{-1}X_2'M_{X_1}y)\\ &=&y'M_{X_1}X_2(X_2'M_{X_1}X_2)^{-1}X_2'M_{X_1}y \end{eqnarray*}$

— 克里斯多夫·汉克
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谢谢。我不知道这时是否被认为是手持的，但是如何从beta的平方和变成包含平方和的表达式呢？

— user1627466

@ user1627466，我添加了两个公式的等价形式。

— Christoph Hanck

@ChristophHanck提供了一个非常全面的答案，在这里，我将在提到的特殊情况下添加一个证明草图。希望对于初学者来说也更容易遵循。

$Y\sim F_{d_1,d_2}$

ÿ = \frac{X_{1个} / d_{1个}}{X_{2} / d_{2}} ，

$Y=\frac{X_1/d_1}{X_2/d_2},$

X_{1} \sim χ_{d_{1}}^{2}

$X_1\sim\chi^2_{d_1}$

X_{2} \sim χ_{d_{2}}^{2}

$X_2\sim\chi^2_{d_2}$

F

$F$

F

$F$

c ESS \sim χ_{p - 1}^{2}

$c\text{ESS}\sim\chi^2_{p-1}$

c RSS \sim χ_{n - p}^{2}

$c\text{RSS}\sim\chi^2_{n-p}$

c

$c$

y = X β + ε,

$y=X\beta+\varepsilon,$

X

$X$

n \times p

$n\times p$

ε \sim N_{n} (0, σ^{2} I)

$\varepsilon\sim N_n(\mathbf{0}, \sigma^2I)$

H = X (X^{T} X)^{- 1} X^{T}

$H=X(X^TX)^{-1}X^{T}$

\hat{y} = H y

$\hat{y}=Hy$

M = I - H

$M=I-H$

H

$H$

M

$M$

tr (H) = p

$\operatorname{tr}(H)=p$

H X = X

$HX=X$

$J$

TSS = y^{T} (I - \frac{1}{n} J) y, RSS = y^{T} M y, ESS = y^{T} (H - \frac{1}{n} J) y .

$\text{TSS}=y^T\left(I-\frac{1}{n}J\right)y,\quad\text{RSS}=y^TMy,\quad\text{ESS}=y^T\left(H-\frac{1}{n}J\right)y.$

M + (H - J / n) + J / n = I

$M+(H-J/n)+J/n=I$

J / n

$J/n$

rank (M) + rank (H - J / n) + rank (J / n) = n

$\operatorname{rank}(M)+\operatorname{rank}(H-J/n)+\operatorname{rank}(J/n)=n$

H - J / n

$H-J/n$

M (H - J / n) = 0

$M(H-J/n)=0$

$F$ $F$

$x\sim N_n(\mu,\Sigma)$ $A$ $r$ $A\Sigma$ $x^TAx\sim\chi^2_r(\mu^TA\mu/2)$ $\chi^2$ $r$ $\mu^TA\mu/2$ ，也可以在此处找到证明。
$x\sim N_n(\mu,\Sigma)$ $A\Sigma B=0$ $x^TAx$ $x^TBx$

$y\sim N_n(X\beta,\sigma^2I)$

\frac{ESS}{σ^{2}} = {(\frac{y}{σ})}^{T} (H - \frac{1}{n} J) \frac{y}{σ} \sim χ_{p - 1}^{2} ((X β)^{T} (H - \frac{J}{n}) X β) .

$\frac{\text{ESS}}{\sigma^2}=\left(\frac{y}{\sigma}\right)^T\left(H-\frac{1}{n}J\right)\frac{y}{\sigma}\sim\chi^2_{p-1}\left((X\beta)^T\left(H-\frac{J}{n}\right)X\beta\right).$

β = 0

$\beta=\mathbf{0}$

ESS / σ^{2} \sim χ_{p - 1}^{2}

$\text{ESS}/\sigma^2\sim\chi^2_{p-1}$

y^{T} M y = ε^{T} M ε

$y^TMy=\varepsilon^TM\varepsilon$

H X = X

$HX=X$

RSS / σ^{2} \sim χ_{n - p}^{2}

$\text{RSS}/\sigma^2\sim\chi^2_{n-p}$

M (H - J / n) = 0

$M(H-J/n)=0$

ESS / σ^{2}

$\text{ESS}/\sigma^2$

RSS / σ^{2}

$\text{RSS}/\sigma^2$

F = \frac{(TSS - RSS) / (p - 1)}{RSS / (n - p)} = \frac{\frac{ESS}{σ^{2}} / (p - 1)}{\frac{RSS}{σ^{2}} / (n - p)} \sim F_{p - 1, n - p} .

$F = \frac{(\text{TSS}-\text{RSS})/(p-1)}{\text{RSS}/(n-p)}=\frac{\dfrac{\text{ESS}}{\sigma^2}/(p-1)}{\dfrac{\text{RSS}}{\sigma^2}/(n-p)}\sim F_{p-1,n-p}.$

— 弗朗西斯
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