$\underset{\textbf{w}}{\arg\min} L(w)=\sum_{i=1}^{n}|y_{i}-\textbf{w}^T\textbf{x}|$

$\min \sum_{i=1}^{n}u_{i}$

$u_i \geq \textbf{x}^T\textbf{w}- y_{i} \; i = 1,\ldots,n$

$u_i \geq -\left(\textbf{x}^T\textbf{w}-y_{i}\right) \; i = 1,\ldots,n$

但是我不知道要逐步解决它，因为我是LP的新手。你有什么主意吗？提前致谢！

编辑：

这是我已解决此问题的最新阶段。我正在尝试按照以下说明解决问题：

步骤1：将其制成标准格式

$\min Z=\sum_{i=1}^{n}u_{i}$

$\textbf{x}^T\textbf{w} -u_i+s_1=y_{i} \; i = 1,\ldots,n$

$\textbf{x}^T\textbf{w} +u_i+s_2=-y_{i} \; i = 1,\ldots,n$

服从$s_1 \ge 0; s_2\ge 0; u_i \ge 0 \ i=1,...,n$

步骤2：建立初始画面

           |      |    0      |    1   |  0  |   0   |   0    
 basic var | coef |  $p_0$    |  $u_i$ |  W  | $s_1$ | $s_2$ 
      $s_1$| 0    |  $y_i$    |   -1   |  x  |   1   |   0
      $s_2 | 0    |  $-y_i$   |    1   |  x  |   0   |   1
      z    |      |    0      |    -1  |  0  |   0   |   0

步骤3：选择基本变量

$u_i$选择作为输入基变量。这是一个问题。选择输出基本变量时，显然。根据注释，如果，则问题具有无限的解决方案。$y_i/-1=-y_i/1=-y_i$$y_i\ge0$

我在这里完全迷路了。我想知道是否有什么问题，以及如何继续以下步骤。

您需要一个通过线性编程解决最小绝对偏差的示例。我将向您展示R中的一个简单实现。分位数回归是最小绝对偏差的一般化，在分位数0.5的情况下，因此，我将展示分位数回归的解决方案。然后，您可以使用R quantreg包检查结果：

rq_LP  <-  function(x, Y, r=0.5, intercept=TRUE) {
    require("lpSolve")
    if (intercept) X  <-  cbind(1, x) else X <-  cbind(x)
    N   <-  length(Y)
    n  <-  nrow(X)
    stopifnot(n == N)
    p  <-  ncol(X)
    c  <-  c(rep(r, n), rep(1-r, n), rep(0, 2*p))  # cost coefficient vector
    A  <- cbind(diag(n), -diag(n), X, -X)
    res  <-  lp("min", c, A, "=", Y, compute.sens=1)
### Desempaquetar los coefs:
    sol <- res$solution
    coef1  <-  sol[(2*n+1):(2*n+2*p)]
    coef <- numeric(length=p)
    for (i in seq(along=coef)) {
         coef[i] <- (if(coef1[i]<=0)-1 else +1) *  max(coef1[i], coef1[i+p])
    }
    return(coef)
    }

然后我们在一个简单的示例中使用它：

library(robustbase)
data(starsCYG)
Y  <- starsCYG[, 2]
x  <- starsCYG[, 1]
rq_LP(x, Y)
[1]  8.1492045 -0.6931818

那么您自己可以使用进行检查quantreg。

线性规划可以通过凸优化进行广义化，其中除单纯形法外，还有许多更可靠的算法可用。

我建议您检查他们提供的The Convex Optimization Book和CVX工具箱。您可以轻松地用正则化公式化最小绝对偏差。

https://web.stanford.edu/~boyd/cvxbook/bv_cvxbook.pdf

http://cvxr.com/cvx/