汉密尔顿(Hamilton)证明这是书中的正确表述,但是这种方法似乎有点违反直觉。因此,让我首先给出一个高层的答案,以激发他的建模选择,然后再详细说明他的推导。
动机:
从阅读第13章应该可以清楚地看到,有很多方法可以以状态空间形式编写动态模型。因此,我们应该问为什么汉密尔顿选择了这种特殊的表示。原因是这种表示使状态向量的维数保持较低。直观地,您会认为(或至少我会认为)ARMA(,)的状态向量至少应为维。毕竟,仅通过观察说,我们就无法推断。但他表明,我们可以以一种巧妙的方式定义状态空间表示形式,从而使状态向量的维数最大为pqp+qyt−1ϵt−1r=max{p,q+1}。我猜,将状态维数保持在较低水平可能对计算实现很重要。事实证明,他的状态空间表示方式还可以很好地解释ARMA过程:未观察到的状态是AR(),而MA()部分是由于测量误差而产生的。pq
派生:
现在进行推导。首先请注意,使用滞后运算符表示法,将ARMA(p,q)定义为:
其中我们让为,和为和我们省略因为是至少。因此,我们需要证明的是他的状态和观察方程式暗示着上面的方程式。让状态向量为
现在看一下状态方程。您可以检查方程至
(1−ϕ1L−…−ϕrLr)(yt−μ)=(1+θ1L+…+θr−1Lr−1)ϵt
ϕj=0j>pθj=0j>qθrrq+1ξt={ξ1,t,ξ2,t,…,ξr,t}⊤
2r只需将条目移至向前一个周期,并在状态向量处丢弃。因此,定义的第一个方程是相关的。写出来:
因为的第二个元素是的第一个元素,而的第三个元素是的第一个元素
ξi,tξi−1,t+1ξr,tt+1ξi,t+1ξ1,t+1=ϕ1ξ1,t+ϕ2ξ2,t+…+ϕrξr,t+ϵt+1
ξtξt−1ξtξt−2依此类推,我们可以使用滞后算符表示法并将滞后多项式移到左侧(H中的方程13.1.24)来重写它:
因此,隐藏状态遵循自回归过程。同样,观测方程为
或
到目前为止,这看起来 ARMA,但是现在不错的部分:将最后一个方程式乘以:(
(1−ϕ1L−…−ϕrLr)ξ1,t+1=ϵt+1
yt=μ+ξ1,t+θ1ξ2,t+…+θr−1ξr−1,t
yt−μ=(1+θ1L+…+θr−1Lr−1)ξ1,t
(1−ϕ1L−…−ϕrLr)(1−ϕ1L−…−ϕrLr)(yt−μ)=(1+θ1L+…+θr−1Lr−1)(1−ϕ1L−…−ϕrLr)yt
但是从状态方程(滞后一个周期),我们得到!因此上述等效于
,这正是我们需要显示的内容!因此,状态观察系统正确表示了ARMA(p,q)。我实际上只是在解释汉密尔顿,但是我希望无论如何这都是有用的。
(1−ϕ1L−…−ϕrLr)ξ1,t=ϵt(1−ϕ1L−…−ϕrLr)(yt−μ)=(1+θ1L+…+θr−1Lr−1)ϵt