最大似然和矩量法何时会产生相同的估计量？

前几天有人问我这个问题，以前从未考虑过。

我的直觉来自每个估算器的优势。最大似然最好是在我们对数据生成过程充满信心时进行，因为与矩量方法不同，它最大程度地利用了整个分布的知识。由于MoM估算器仅使用时刻中包含的信息，因此当我们尝试估算的参数的足够统计量恰好是数据时刻时，这两种方法似乎应产生相同的估算。

$(0,\theta)$$\theta$$\max(X_1,\cdots,X_N)$

我以为这可能是指数族的怪癖，但是对于已知均值的拉普拉斯来说，足够的统计量是且方差的MLE和MoM估计量不相等。$\frac{1}{n} \sum |X_i|$

到目前为止，我一般无法显示任何结果。有人知道一般情况吗？甚至是一个反例也可以帮助我改善直觉。

一个普遍的答案是，基于矩量方法的估计量不会因参数化的双射变化而不变，而最大似然估计量则不会变。因此，它们几乎永远不会重合。（几乎从不进行所有可能的转换。）

此外，如问题所述，MoM估计量很多。实际上，它们无限。但它们都是基于该经验分布，其可以被看作是一个非参数MLE $\hat{F}$$F$，虽然这并不涉及到这个问题。

实际上，解决问题的一种更合适的方法是询问矩估计量何时足够，但这会迫使数据的分布来自Pitman-Koopman引理的指数族，这种情况下答案已经存在众所周知。

注意：在拉普拉斯分布中，当均值已知时，该问题等同于观察绝对值，该绝对值随后是指数变量和指数族的一部分。