如何在R中拟合Bradley–Terry–Luce模型，而无需复杂的公式？

Bradley-Terry-Luce（BTL）模型指出，其中是对象被判定为“更好” 的概率，参数比对象，而和是参数。$p_{ji} = logit^{-1}(\delta_j - \delta_i)$$p_{ij}$$j$$i$$\delta_i$$\delta_j$

这似乎是glm函数的候选者，family =二项式。但是，公式将类似于“成功〜S1 + S2 + S3 + S4 + ...”，其中Sn是虚拟变量，如果对象n是比较中的第一个对象，则为1，如果为n，则为-1。第二个，否则为0。那么Sn的系数将是对应的。$delta_n$

仅使用几个对象，这将相当容易管理，但可能导致公式很长，并且需要为每个对象创建一个虚拟变量。我只是想知道是否有更简单的方法。假设要比较的两个对象的名称或数量是变量（因数），对象1和对象2，如果判断对象1更好，则成功为1，如果对象2为更好，则成功为0。

我认为R中用于配对比较（PC）数据的最佳软件包是prefmod软件包，它可以方便地准备数据以适合R中的（对数线性）BTL模型。它使用Poisson GLM（更准确地说，是Poisson中的多项式logit公式请参见本讨论）。

令人高兴的是，它具有一个功能prefmod::llbt.design，可以自动将您的数据转换为必要的格式和必要的设计矩阵。

例如，假设您有6个对象全部成对比较。然后

R> library(prefmod)
R> des<-llbt.design(data, nitems=6)

将根据如下所示的数据矩阵构建设计矩阵：

P1  0  0 NA  2  2  2  0  0  1   0   0   0   1   0   1   1   2
P2  0  0 NA  0  2  2  0  2  2   2   0   2   2   0   2   1   1
P3  1  0 NA  0  0  2  0  0  1   0   0   0   1   0   1   1   2
P4  0  0 NA  0  2  0  0  0  0   0   0   0   0   0   2   1   1
P5  0  0 NA  2  2  2  2  2  2   0   0   0   0   0   2   2   2
P6  2  2 NA  0  0  0  2  2  2   2   0   0   0   0   2   1   2

行表示人员，列表示比较，0表示不确定，1表示首选对象1，2表示首选对象2。允许缺少值。编辑：由于这可能不是简单地从上面的数据中推断出的东西，因此我在这里将其拼写出来。必须按以下方式对比较进行排序（（12）表示比较对象1与对象2）：

(12) (13) (23) (14) (24) (34) (15) (25) etc. 

使用此gnm::gnm功能最方便进行拟合，因为它允许您进行统计建模。（编辑：您也可以使用该prefmod::llbt.fit函数，因为它只需要计数和设计矩阵，所以它有点简单。）

R> res<-gnm(y~o1+o2+o3+o4+o5+o6, eliminate=mu, family=poisson, data=des)
R> summary(res)
  Call:
gnm(formula = y ~ o1 + o2 + o3 + o4 + o5 + o6, eliminate = mu, 
    family = poisson, data = des)

Deviance Residuals: 
   Min      1Q  Median      3Q     Max  
-7.669  -4.484  -2.234   4.625  10.353  

Coefficients of interest:
   Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
o1  1.05368    0.04665  22.586  < 2e-16 ***
o2  0.52833    0.04360  12.118  < 2e-16 ***
o3  0.13888    0.04297   3.232  0.00123 ** 
o4  0.24185    0.04238   5.707 1.15e-08 ***
o5  0.10699    0.04245   2.521  0.01171 *  
o6  0.00000         NA      NA       NA    
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

(Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)

Std. Error is NA where coefficient has been constrained or is unidentified

Residual deviance: 2212.7 on 70 degrees of freedom
AIC: 2735.3

请注意，消除项将忽略摘要中的有害参数。然后，您可以获取值参数（您的增量）为

## calculating and plotting worth parameters
R> wmat<-llbt.worth(res)
        worth
o1 0.50518407
o2 0.17666128
o3 0.08107183
o4 0.09961109
o5 0.07606193
o6 0.06140979

你可以用

R> plotworth(wmat)

如果您有许多对象并且想要o1+o2+...+on快速编写公式对象，则可以使用

R> n<-30
R> objnam<-paste("o",1:n,sep="")
R> fmla<-as.formula(paste("y~",paste(objnam, collapse= "+")))
R> fmla
y ~ o1 + o2 + o3 + o4 + o5 + o6 + o7 + o8 + o9 + o10 + o11 + 
    o12 + o13 + o14 + o15 + o16 + o17 + o18 + o19 + o20 + o21 + 
    o22 + o23 + o24 + o25 + o26 + o27 + o28 + o29 + o30

生成公式gnm（您不需要llbt.fit）。

有一篇JSS文章，另请参见https://r-forge.r-project.org/projects/prefmod/和通过的文档?llbt.design。