几何均值是哪个连续分布的均值的无偏估计量？

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是否存在任何可以用封闭形式表示的连续分布，其均值使得样本的几何均值是该均值的无偏估计量？

更新：我只是意识到我的样本必须是正数（否则几何平均值可能不存在），因此连续不是正确的词。对于随机变量的负值零为正值连续的分布怎么样。类似于截断的分布。

distributions geometric-mean

— 用户名
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在具有严格正样本空间的情况下，分布可以是连续的（例如，伽玛分布）。

— gammer'4

1

您是否还表示一个示例，其中样本的几何平均值是第一时刻的无偏估计量？我只见过定义离散数据集的几何平均值，并且不确定如何为连续分布定义“真实”（即总体水平）几何平均值...也许？

e x p (E (\log (X)))

${\rm exp}( E(\log(X)) )$

— gammer'4

它适用于对数正态分布。

— Michael R. Chernick

如果随机变量

几乎肯定地

X

$X$ 等于某个正标量常数

则它成立。并非如此。

c

$c$

— 马修·冈恩

Answers:

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我相信您在问rv 的分布是什么（如果有）， $X$ 这样，如果我们从该分布中得到一个大小为的iid样本 $n>1$ ，它将保持

E [G M] = E [{(\prod_{i = 1}^{n} X_{i})}^{1 / n}] = E (X)

$E[GM] = E\left[\left(\prod_{i=1}^n X_{i}\right)^{1/n}\right] = E(X)$

由于iid假设，我们有

E [{(\prod_{i = 1}^{n} X_{i})}^{1 / n}] = E (X_{1}^{1 / n} \cdot . . . \cdot X_{n}^{1 / n}) = E (X_{1}^{1 / n}) \cdot . . . \cdot E (X_{n}^{1 / n}) = {[E (X^{1 / n})]}^{n}

$E\left[\left(\prod_{i=1}^n X_{i}\right)^{1/n}\right] = E\left(X_1^{1/n}\cdot ...\cdot X_n^{1/n}\right) = E\left (X_1^{1/n}\right)\cdot ...\cdot E\left(X_n^{1/n}\right) = \left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n$

所以我们问我们是否可以拥有

{[E (X^{1 / n})]}^{n} = E (X)

$\left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n = E(X)$

但是根据詹森的不等式，以及对于幂高于一的幂，幂函数严格地凸的事实，我们几乎可以肯定地是，对于一个非退化（非恒定）随机变量，

{[E (X^{1 / n})]}^{n} < E {[(X^{1 / n})]}^{n} = E (X)

$\left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n < E\left[\left(X^{1/n}\right)\right]^n = E(X)$

因此不存在这种分布。

关于评论中的对数正态分布，可以认为，来自对数正态分布的样本的几何平均值（）是中位数的有偏但渐近一致的估计量。这是因为，对于对数正态分布，它认为 $GM$

E (X^{s}) = \exp {s μ + \frac{s^{2} σ^{2}}{2}}

$E(X^s) = \exp\left\{s\mu + \frac {s^2\sigma^2}{2}\right \}$

（其中，和是基础法线的参数，而不是对数正态的均值和方差）。 $\mu$ $\sigma$

在我们的例子中，所以我们得到 $s = 1/n$

E (G M) = {[E (X^{1 / n})]}^{n} = {[\exp {(μ / n) + \frac{σ^{2}}{2 n^{2}}}]}^{n} = \exp {μ + \frac{σ^{2}}{2 n}}

$E(GM) = \left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n = \left[\exp\left\{(\mu/n) + \frac {\sigma^2}{2n^2}\right \}\right]^n = \exp\left\{\mu + \frac {\sigma^2}{2n}\right \}$

（这告诉我们这是中位数的有偏估计）。但

lim {[E (X^{1 / n})]}^{n} = lim \exp {μ + \frac{σ^{2}}{2 n}} = e^{μ}

$\lim \left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n = \lim \exp\left\{\mu + \frac {\sigma^2}{2n}\right \} = e^{\mu}$

这是分布的中位数。还可以证明样本几何平均值的方差收敛到零，并且这两个条件足以使该估计量渐近一致-对于中位数，

G M \to_{p} e^{μ}

$GM \to_p e^{\mu}$

— 阿莱科斯·帕帕多普洛斯
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也许应该补充一点，仅当

为常数时，应用严格凸函数的Jensen不等式才是等式。

X

$X$

— 奥利维尔

@Olivier：我认为这是一个众所周知的属性，可能只是添加一些杂乱的属性而已。在任何情况下，Jensen不等式是不是真的甚至必要的，因为在考虑的情况下

已经足够加上事实

意味着

通过一个甚至更基本论点几乎肯定。

n = 2

$n = 2$

V a r (X) = 0

$\mathrm{Var}(X) = 0$

X = 0

$X = 0$

— 红衣主教

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这与Alecos的出色答案类似，因为算术平均数，几何平均数不等式是Jensen不等式的结果。

设为算术平均值： $A_n$ $A_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$
设为几何平均值： $G_n$ $G_n = \left( \prod_{i=1} X_i \right) ^ \frac{1}{n}$

的算术平均值，几何平均值不等式指出平等当且仅当每个观测等于：。（AMGM不等式是Jensen不等式的结果。） $A_n \geq G_n$ $X_1 = X_2 = \ldots = X_n$

情况1：几乎可以肯定地 $X_1 = X_2 = \ldots = X_n$

那么。 $\operatorname{E}[G_n] = \operatorname{E}[A_n] = \operatorname{E}[X]$

从某种意义上说，这是一个完全退化的情况。

$P(X_i \neq X_j) > 0$ $i\neq j$

$G_n \leq A_n$ $\operatorname{E}[A_n] = \operatorname{E}[X]$ $\operatorname{E}[G_n] < \operatorname{E}[X]$

— 马修·冈恩
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