beta分布从何而来？

我确定这里的每个人都已经知道，Beta分布的PDF 由$X \sim B(a,b)$

$f(x) = \frac{1}{B(a,b)}x^{a-1}(1-x)^{b-1}$

我一直在各地寻找有关该公式起源的解释，但我找不到它。我在Beta发行版上找到的每篇文章似乎都给出了这个公式，说明了它的一些形状，然后直接讨论其关键时刻。

我不喜欢使用无法推导和解释的数学公式。对于其他分布（例如伽马或二项式），有一个明确的推导可以学习和使用。但是我找不到类似的东西用于Beta发行版。

所以我的问题是：该公式的起源是什么？在最初开发的任何上下文中，如何从第一性原理中衍生出来？

[为澄清起见，我不是在问如何在贝叶斯统计中使用Beta分布，或者在实践中直觉地意味着什么（我已经读过棒球示例）。我只想知道如何导出PDF。以前有一个问题提出了类似的问题，但是（我认为是错误的）它被标记为另一个未解决该问题的问题的重复，因此到目前为止，我在这里找不到任何帮助。]

编辑2017-05-06：谢谢大家的提问。我想对我想要的东西有一个很好的解释，当我向一些课程讲师问这个问题时，我得到了以下答案之一：

“我想人们可以将正常密度推导为n个事物的总和除以sqrt（n）的极限，并且可以从事件以恒定速率发生的想法推导泊松密度。类似地，为了推导Beta密度，您将需要某种概念来确定什么使得Beta分布独立于密度，并且在逻辑上先于密度。”

因此，注释中的“从头开始”的想法可能最接近我要寻找的想法。我不是数学家，但是我使用能够推导的数学感到最自在。如果起源对我来说太先进了，那就去吧，但是如果不是，我想了解它们。

作为前物理学家，我可以看到它是如何产生的。这是物理学家的工作方式：

当他们遇到一个正函数的有限积分时，例如beta函数： 他们本能地定义密度： 其中f （s | x ，y ）= s x − 1（1 − s ）y −

$$B(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt$$ 0<s< $$f(s|x,y)=\frac{s^{x-1}(1-s)^{y-1}}{\int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt}=\frac{s^{x-1}(1-s)^{y-1}}{B(x,y)},$$ $0<s<1$

他们经常对各种积分执行此操作，以至于它不需思考就反省地发生。他们称此过程为“规范化”或类似名称。请注意，从定义上讲，密度是如何简单地具有您希望它具有的所有属性的，例如始终为正并加一。

我上面给出的密度具有Beta分布。$f(t)$

更新

@whuber在问，关于Beta分布有什么特别之处，而上述逻辑可以应用于无限数量的适当积分（如我在上面的回答中所指出的）？

特殊部分来自二项式分布。我将使用与Beta类似的表示法来编写其PDF，而不是参数和变量的常用表示法：

$$f'(x,y|s) = \binom {y+x} x s^x(1-s)^{y}$$

在此，成功和失败的次数，成功的可能性。您可以看到它与Beta发行版中的分子非常相似。实际上，如果您寻找二项式分布的先验条件，它将是Beta分布。同样也不奇怪，因为Beta的域是0到1，这就是您在贝叶斯定理中所做的：在参数积分，这是在这种情况下成功的概率，如下所示： 在此 -给定成功概率的概率（密度） Beta分布的先前设置和$x,y$$s$$s$

$$\hat f(x|X)=\frac{f'(X|s)f(s)}{\int_0^1 f'(X|s)f(s)ds},$$ $f(s)$$f'(X|s)$-给定概率的此数据集的密度（即观察到的成功和失败）。$s$

托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes（1763））得出Beta分布[不使用此名称]作为后验分布的第一个示例，比Leonhard Euler（1766）在Glen_b指出的Beta积分上的工作早了几年，但该积分也出现在Euler（1729或1738） [Opera Omnia，I14，1 {24]作为推广阶乘函数的一种方法这可能就是为什么归一化Beta常数也称为Euler函数。戴维斯$-$$B(a,b)$$-$提到沃利斯（1616-1703），牛顿（1642-1726）和斯特林（1692-1770）甚至更早地处理积分的特殊情况。卡尔·皮尔森（Karl Pearson，1895年）首先将此发行系列归类为Pearson I型。

尽管从历史上看并没有顺序出现，但是通过Fisher的分布可以直观地进入Beta分布，这对应于比率 在这里，我故意使用方差估计量的常用符号，因为这就是这种分布的方式出现并受到激励，以测试两个方差的相等性。然后 ，反之，如果，则 求的密度$F(p,q)$

$$\varrho=\hat\sigma^2_1\big/\hat\sigma_2^2\qquad p\hat\sigma_1^2\sim\chi^2_p\quad q\hat\sigma_1^2\sim\chi^2_q$$ $$\frac{p\varrho}{q+p\varrho}\sim B(p/2,q/2)$$ $\omega\sim B(a,b)$ $$\dfrac{\omega/a}{(1-\omega)/b}\sim F(2a,2b)$$ $B(a,b)$因此，分布是可变步长的变化：从分布的密度开始， 并考虑变量会转换为 ，雅可比矩阵为导致变换的密度 [其中所有归一化常数都是通过将密度强加到一个整数而获得的。$F(p,q)$ $$f_{p,q}(x) \propto \{px/q\}^{p/2-1}(1+px/q)^{-(p+q)/2}$$ $$y=\frac{\{px/q\}}{\{1+px/q\}}\quad y\in(0,1)$$ $$x=\frac{qy}{p(1-y)}$$ $$\frac{\text{d}x}{\text{d}y}=\frac{q}{p(1-y)}+\frac{qy}{p(1-y)^2}=\frac{p}{q(1-y)^2}$$ $$g(y)\propto y^{p/2-1}(1-y)^{q/2+1}(1-y)^{-2}=y^{p/2-1}(1-y)^{q/2+1}$$

首先，我在脑海中对概念的数学精确描述并不擅长，但是我将使用一个简单的示例来尽力而为：

假设您有一把弓，许多箭和一个目标。进一步说，您的命中率（用于击中目标）恰好是到目标中心的距离的函数，其格式为 其中x是到中心的距离目标（）。对于这将是高斯的一阶近似。这意味着您最常打靶子。同样，它近似于任何钟形曲线，例如，由于布朗粒子的扩散而导致的。$\lambda$

$$\begin{eqnarray} \lambda=g(x)=\lambda_{max}-(q|x-x_0|)^\frac{1}{q},~q > 0,~0 \leq \lambda \leq \lambda_{max} \end{eqnarray}$$ $x_0$$q=1/2$

现在，让我们进一步假设有人真的很勇敢/愚蠢地试图欺骗您，并在每次射击时都移动目标。因此，我们使本身成为随机变量。如果可以通过的（p-1）次来描述该人的运动分布（即），则简单随机变量的转换（记住）导致Beta分布：$x_0$$g(x)$$P(x_0) = C\cdot g(x)^{p-1})$$P(\lambda)d\lambda=P(x_0)dx_0$$\lambda$

$$\begin{eqnarray}P(\lambda) = P(g^{-1}(\lambda)) \biggl|\frac{dg^{-1}(\lambda)}{d\lambda}\biggl| = C' \cdot \lambda^{p-1} \cdot (\lambda_{max} - \lambda)^{q-1}\end{eqnarray}$$

其中归一化常数是beta函数。对于beta分布的标准参数化，我们将设置。$C'$$\lambda_{max} = 1$

换句话说，β分布可以看作是抖动分布中心的概率分布。

我希望这种推论与您的老师的意思相近。请注意，和的函数形式非常灵活，并且可以从类似三角形的分布和U形分布（请参见下面的示例）到尖峰分布。$g(x)$$P(x_0)$

仅供参考：我在博士论文中发现了这种副作用，并在论文中针对非平稳神经调节曲线导致了峰值计数分布为零膨胀（双峰模式为零）的情况进行了报道。应用上述概念得出了神经行为的Beta-泊松混合分布。该分布可以适合数据。拟合参数允许通过应用反向逻辑来估计分布和抖动分布。Beta-Poisson混合物是一种非常有趣且灵活的替代方法，可以用来代替过度的负二项分布（它是Gamma-Poisson混合物）。在下面找到一个示例“抖动$g(x)$$p(x_0)$$\rightarrow$ Beta”-实施中的想法：

A：模拟的一维试验位移，从插图中的抖动分布（）得出。与没有抖动的基本调谐曲线（实线，使用的参数：相比，试验平均的发射场（实线黑线）更宽且峰值速率更低。。乙：的所得分布在。跨越N = 100个试验和Beta分布的分析PDF ç：从泊松过程与参数模拟尖峰计数分布其中i表示试验的索引以及如上所示得出的Beta-Poisson分布。$P(jitter)\propto g(x)^{p-1}$$\lambda_{max} = 10, p = .6, q=.5$λ X 0 λ 我$\lambda$$x_0$$\lambda_i$D：2D中类似的情况，具有随机移位角，导致相同的统计量。