来自Cody的出色答案提供了一种很好的方式,可以通过排除与无关的部分概率来表示的似然函数,一年中的天数(或基于平坦先验的后验分布)。NN
在这个答案中,我想更简洁地写下来,并提供一种方法来计算该似然函数的最大值(而不是期望值,后者很难计算)。
N的似然函数
从一组生日中抽取一个生日方式的数量有限制,其中为单身生日,重复生日和三岁生日的数量等于a+2b+3cnabc
rn==(na+b+c)number of ways topick m unique birthdaysout of n days(a+b+c)!a!b!c!number of ways todistribute m birthdaysamong groups of size a, b and c(a+2b+3c)!1!a2!b3!cnumber of ordered ways toarrange specific single, duplicate, and triplicatesamong the aliens n!(n−a−b−c)!×(a+2b+3c)a!b!c!1!a2!b3!c
并且只有右边的第一项依赖于,因此通过排除其他项,我们以似然函数nL(n|a,b,c)=∝n−(a+2b+3c)n!(n−a−b−c)!=n−mn!(n−s)!P(a,b,c|n)
在这里,我们遵循科迪(Cody)的表示法,并使用表示外星人的数量,使用表示唯一生日的数量。ms
N的最大似然估计
我们可以使用该似然函数来得出的最大似然估计。N
注意
L(n)=L(n−1)(n−1n)mnn−s
并且将前刚刚出现的最大针对n
(n−1n)mnn−s=1
要么
s=n(1−(1−1/n)m)
大约适用于大(使用Laurent级数,您可以通过代入并在点处写出的泰勒级数)nx=1/nxx=0
s≈∑k=0l(mk)(−n)−k+O(n−(l+1))
仅使用一阶项您将得到:s≈m−m(m−1)2n
n1≈(m2)m−s
使用第二阶项以及你:s≈m−m(m−1)2n+m(m−1)(m−2)6n2
n2≈(m2)+(m2)2−4(m−s)(m3)−−−−−−−−−−−−−−−−√2(m−s)
因此,对于外星人,其中有唯一生日,可以使用近似值和。当您用数字方式求解方程时,您将得到,我们将其舍入为以获取MLE。m=100s=91n1≈550n2≈515.1215n=516.82n=516