正定矩阵的平均值也正定吗？

多个正定矩阵的平均值是否必然是正定或半正定？平均值是逐元素平均值。

是的。jth asnwer是正确的（+1），但我认为仅使用基本的线性代数就可以得到非常简单的解释。

假设和B是大小为n的正定矩阵。根据定义，这意味着对于所有Ü ∈ [R Ñ，0 < ü Ť甲ù和0 < ü Ť乙ü。这意味着0 < u T A u + u T B u或等效地为0 < u T（A + B ）u。即。（$A$$B$$n$$u \in R^n$$0 < u^TAu$$0 < u^TBu$$0 < u^TAu + u^TBu$$0 < u^T(A+B)u$$(A+B)$ 必须是肯定的。

当然。正定矩阵集形成一个圆锥形，这意味着它在正线性组合和缩放下是闭合的。