对称分布的定义是什么？

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对称分布的定义是什么？有人告诉我，当且仅当和具有相同的分布时，随机变量才来自对称分布。但是我认为这个定义部分正确。因为我可以一个反例和。显然，它具有对称分布，但是和具有不同的分布！我对吗？你们有没有想过这个问题？对称分布的确切定义是什么？ $X$ $X$ $-X$ $X\sim N(\mu,\sigma^{2})$ $\mu\neq0$ $X$ $-X$

distributions definition symmetry

— 石井寺
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当您说“分布是对称的”时，您必须指定对称点。在您呈现正态分布的情况下，对称性在

附近给出

μ

$\mu$ 。在这种情况下，

X - μ

$X-\mu$ 和

- (X - μ)

$-(X-\mu)$ 具有相同的分布。在密度方面这可以被表示为：

f

$f$ 是对称

μ

$\mu$ 如果

f (μ - x) = f (μ + x)

$f(\mu-x)=f(\mu+x)$ 。顺便说一句，当您对答案之一感到满意时，这是接受答案的好方法。

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是的，我们已经考虑过这个问题。对称通常是指大约

对称

0

$0$ ，并且为了防止其他反例，关于分布对称的主张与累积概率分布函数无关。您的“反例”拥有大约点对称

μ \neq 0

$\mu \neq 0$ ，不是点

0

$0$ 。

— Dilip Sarwate 2012年

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@Dilip当定义依赖于一种描述某种事物的方式，但是该定义可以证明是该事物的固有属性时，那么将该定义应用于另一种形式的描述就没有任何意义。在这种情况下，对称性是分布的属性，但这并不意味着对该分布的所有描述（包括PDF和CDF）都必须以相同的方式“对称”。通过将PDF的对称性应用于CDF，您的评论会使问题变得困惑，而不是将其澄清。

— ub

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shijing，@ Procrastinator发现您问了很多问题而没有接受任何答案。这表明您可能不熟悉本网站的工作方式。为了澄清误会，就请仔细阅读我们的常见问题的有关部分 通过道路上的一切？只需几分钟，遵循它的指导将为您提高我们网站的价值。

— ub

@whuber CDF是名称中实际上出现单词分布的少数描述之一，我试图阐明CDF并不具有对称性。

— Dilip Sarwate 2012年

Answers:

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简而言之：当和对于某些实数具有相同的分布时，是对称。 $X$ $X$ $2a-X$ $a$ 但是，在一个完全合理的方式到达，这需要一些题外话和概括，因为它引起了许多隐含的问题：为什么这个定义的“对称”？可以存在其他种类的对称性吗？分布及其对称性之间是什么关系，相反，“对称”与那些可能具有对称性的分布之间是什么关系？

所讨论的对称性是实线的反映。都是形式

x \to 2 a - x

$x \to 2a-x$

对于某一常数。 $a$

因此，假设具有至少一个对称性。然后对称性暗示 $X$ $a$

Pr [X \geq a] = Pr [2 a - X \geq a] = Pr [X \leq a]

$\Pr[X \ge a] = \Pr[2a-X \ge a] = \Pr[X \le a]$

示出了为一中值的。类似地，如果有一个期望值，则可以立即得出。因此，我们通常可以拖住容易。即使不是，也仍然唯一地确定（因此对称性本身）（如果完全存在）。 $a$ $X$ $X$ $a = E[X]$ $a$ $a$

要看到这一点，令为任何对称中心。然后应用两个对称性，我们看到在的平移下是不变的。如果，则的分布必须具有的周期，这是不可能的，因为周期分布的总概率为或无穷大。因此，表明是唯一的。 $b$ $X$ $x \to x + 2(b-a)$ $b-a \ne 0$ $X$ $b-a$ $0$ $b-a=0$ $a$

更笼统地说，当是在实线上忠实地作用于其行列（并且通过扩展其所有Borel子集）时，我们可以说，当相对于时，分布是“对称的” 。 $G$ $X$ $G$

Pr [X \in E] = Pr [X \in E^{g}]

$\Pr[X \in E] = \Pr[X \in E^g]$

对于所有测集和元素，其中表示的图像的作用下。 $E$ $g \in G$ $E^g$ $E$ $g$

例如，让仍然是阶的组，但现在让它的动作是获取实数的倒数（并让它固定）。标准对数正态分布关于该组是对称的。该示例可以理解为反射对称的实例，其中坐标的非线性重新表达已经发生。这建议着重于尊重实线“结构”的转换。概率必不可少的结构必须与Borel集和Lebesgue测度有关，两者都可以根据两点之间的（欧几里得）距离来定义。 $G$ $2$ $0$

根据定义，保距图是等轴测图。 众所周知（并且尽管有一点涉及，但很容易证明），实线的所有等距线都是通过反射生成的。因此，当了解到“对称”是指相对于某组等距对称时，该组必须由最多一个反射生成，并且我们已经看到，反射是由相对于它的任何对称分布唯一确定的。从这个意义上讲，前面的分析是详尽无遗的，并证明了“对称”分布的常用术语是正确的。

顺便提及，通过考虑“球形”分布，提供了在等距群下不变分布的许多多元示例。这些在所有旋转下都是不变的（相对于某个固定中心）。这些概括了一维的情况：实线的“旋转”只是反射。

最后，值得指出的是，对整个组进行平均的标准构造提供了一种产生对称分布负载的方法。在实线的情况下，令通过围绕点的反射生成，因此它由标识元素和该反射。令为任何分布。通过设置定义分布 $G$ $a$ $e$ $g$ $X$ $Y$

{Pr}_{Y} [E] = \frac{1}{| G |} \sum_{g \in G} {Pr}_{X} [E^{g}] = ({Pr}_{X} [E] + {Pr}_{X} [E^{g}]) / 2

${\Pr}_Y[E] = \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G} {\Pr}_X[E^g] = ({\Pr}_X[E] + {\Pr}_X[E^g])/2$

所有博雷尔集。这显然是对称的，很容易检查它是否仍然是分布（所有概率都保持非负且总概率为）。 $E$ $1$

Gamma

为说明组平均过程，以黄金显示了对称Gamma分布（以为中心）的PDF 。原始的Gamma为蓝色，反射为红色。 $a=2$

— ub
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（+1）我想补充一点，在多变量设置中，对称性的定义不是唯一的。在这本书有对称的多变量分布的8个可能的定义。

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@Procrastinator我对“非唯一”的含义感到好奇。AFAIK，证明“对称性”名称的任何事物最终都指对空间的集体行动。有趣的是，统计人员发现了哪些不同类型的动作有用。由于该书已经绝版且无法在网络上使用，您能否举一个简短的例子说明该书中考虑的两种完全不同的对称性？

— ub

你的直觉是正确的，这关系到统计特征：中央对称

; 球形对称

为所有正交矩阵

。我无法回忆起其余的内容，但是这些天我将尝试借书。在此链接中，您可以找到其中的一些。

X - μ \overset{d}{=} - (X - μ)

${\bf X}-\mu\stackrel{d}{=}-({\bf X}-\mu)$

X - μ \overset{d}{=} O (X - μ)

$X-\mu\stackrel{d}{=}{\bf O}({\bf X}-\mu)$

O

${\bf O}$

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@Procrastinator谢谢。请注意，您提供的两个示例都是我提供的一般定义的特例：中心对称生成一个由两个元素组成的等距组，而球形对称也是所有等距的一个子组。链接中的“椭圆对称”是仿射变换后的球形对称，因此可以举例说明我在对数正态示例中指出的现象。“角对称”再次形成一组等距。“半空间对称性” [sic]不是对称性，但允许离散的偏离：这是新的。

— ub

1

答案将取决于您所说的对称性。在物理学中，对称性的概念是基本的，并且已经变得非常普遍。对称是使系统保持不变的任何操作。在概率分布的情况下，可以将其转换为返回相同概率任何操作。 $X \to X'$ $P(X) = P(X')$

$X \to X + \lambda$ $\lambda$ $P(X) = P(X + \lambda)$

— 迈克尔·霍夫曼
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