泊松分布是否稳定，MGF是否有反演公式？

首先，我对泊松分布是否“稳定”存在疑问。非常幼稚（而且我不太确定“稳定”的分布），我使用MGF的产品算出了Poisson分布RV的线性组合的分布。看来我得到了另一个泊松，其参数等于各个RV的参数的线性组合。所以我得出结论，泊松是“稳定的”。我想念什么？

其次，MGF是否有像特征函数一样的反演公式？

distributions poisson-distribution mgf

— 坦率
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它在（独立）和下闭合，但在任意线性组合下不闭合。如果您包括您的工作，我怀疑您最终会明白为什么这样做。如果没有的话，有人可以指出来。是的，有一些类似于特征函数的反演类比。您对Laplace变换和Bromwich轮廓积分了解多少？

— 主教

好，我回到绘图板上。我的第i个泊松的MGF为：exp（lambda_i（exp（t）-1））。所以n个泊松MGF的乘积给我：exp（sum（i，0，n）alpha_i * lambda_i *（exp（t）-1））我取新的lambda = sum（i，0，n）alpha_i * lambda_i。现在，由于犯了一个明显的错误，我恐怕会显得愚蠢。-我大致了解Laplace变换和轮廓积分，但不了解Bromwish轮廓积分。-您是否建议一般使用CF，而不是MGF？似乎更强大。

— 弗兰克

您的评论中的是什么？另外，用美元符号将math-LaTeX括起来以使其正常工作（使用\ exp使“ exp”看起来正确，使用\ lambda使其为，为等为）

α_{i}

$\alpha_i$

λ

$\lambda$

\sum

$\sum$

— jbowman

是的，我不太擅长LaTex，但是可以。因此，我的RV的线性组合为：，其MGF的乘积为：，如果我是正确的话，如果RV以。我对所有RV使用了相同的t，但是我需要使用。

\sum_{i = 0}^{n} α_{i} X_{i}

$\sum_{i=0}^{n}\alpha_{i} X_{i}$

\exp (\sum_{i = 0}^{n} α_{i} λ_{i} (\exp (t_{i}) - 1))

$\exp(\sum_{i=0}^{n}\alpha_{i} \lambda_{i} (\exp(t_{i}) - 1))$

P o i s s o n (λ_{i})

$Poisson(\lambda_{i})$

t_{i}

$t_{i}$

— Frank

错误是的MGF 是而不是

a_{i} X_{i}

$a_iX_i$

e x p (λ_{i} (e x p (a_{i} t) - 1))

$exp(\lambda_i (exp(a_i t)-1))$

e x p (a_{i} λ_{i} (e x p (t) - 1))

$exp(a_i\lambda_i (exp(t)-1))$

— gui11aume12年

Answers:

泊松随机变量的线性组合

如您所计算的，速率为的泊松分布的矩生成函数为 $\lambda$

m_{X} (t) = E e^{t X} = e^{λ (e^{t} - 1)} .

$m_X(t) = \mathbb E e^{t X} = e^{\lambda (e^t - 1)} \>.$

现在，让我们关注独立泊松随机变量和的线性组合。让。然后， $X$ $Y$ $Z = a X + b Y$

m_{Z} (t) = E e^{t Z} = E e^{t (a X + b Y)} = E e^{t (a X)} E e^{t (b Y)} = m_{X} (a t) m_{Y} (b t) .

$m_Z(t) = \mathbb Ee^{tZ} = \mathbb E e^{t (a X + b Y)} = \mathbb E e^{t(aX)} \mathbb E e^{t (bY)} = m_X(at) m_Y(bt) \>.$

因此，如果利率为而利率为，则我们得到并且通常不能以对于某些除非。 $X$ $\lambda_x$ $Y$ $\lambda_y$

m_{Z} (t) = \exp (λ_{x} (e^{a t} - 1)) \exp (λ_{y} (e^{b t} - 1)) = \exp (λ_{x} e^{a t} + λ_{y} e^{b t} - (λ_{x} + λ_{y})),

$m_Z(t) = \exp({\lambda_x (e^{at} - 1)}) \exp({\lambda_y (e^{bt} - 1)}) = \exp(\lambda_x e^{at} + \lambda_y e^{bt} - (\lambda_x + \lambda_y))\>,$

\exp (λ (e^{t} - 1))

$\exp(\lambda(e^t - 1))$

λ

$\lambda$

a = b = 1

$a = b = 1$

力矩生成函数的求逆

如果力矩产生函数存在于零附近，那么它也将作为复数值函数存在于零附近的无限条带中。这使得轮廓集成反演在许多情况下都可以发挥作用。实际上，非负随机变量的Laplace变换 是随机过程理论中的常用工具，特别是用于分析停止时间。注意对于实值。作为练习，您应证明非负随机变量的始终存在Laplace变换。 $\mathcal L(s) = \mathbb E e^{-s T}$ $T$ $\mathcal L(s) = m_T(-s)$ $s$ $s \geq 0$

然后可以通过Bromwich积分或Post反演公式完成反演。后者的概率解释可以在几种经典的概率文本中找到。

尽管没有直接关系，但您可能也对以下说明感兴趣。

JH Curtiss（1942），关于矩生成函数理论的注解，安。数学。统计 ，卷 13号 4，第430-433页。

关联理论是针对特征函数而开发的，因为它们是完全通用的：它们存在于所有分布中，而没有支撑或力矩限制。

— 红衣主教
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（+1）反演公式是纯粹理论上的还是有时真正使用的？

— gui11aume12年

@ gui11aume：用于某些地方；但是，您通常在文本中找到的示例通常正是您不需要的示例。:)

— 主教

因此，大概使用CF比使用MGF更容易吗？MGF并不总是存在的，对吧？为什么要打扰他们？

— 弗兰克

@弗兰克：在教学上，他们更容易向懂微积分但对复杂变量几乎没有背景的学生进行介绍。当它们存在时，它们具有与CF完全相似的特性。它们在概率论和理论统计的某些部分中起着重要作用，例如较大的偏差和指数倾斜。

— 主教

@Frank：这些是Levy分布，唯一具有MGF的分布是正态分布。实际上，CF是解决此问题的工具。对于所有这样的分布，CF的可能形式都是已知的，但是仅在少数几个实例中才知道封闭形式的pdf。

α

$\alpha$

— 主教

总和而言，泊松分布是稳定的。通过线性组合，它们很不稳定，因为您可能会得到非整数值。例如，如果是泊松，则并不是泊松。 $X$ $X/2$

我不知道MGF的反演公式（但@cardinal似乎是）。

— gui11aume
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（+1）因为我喜欢简单的说明性证据和反例，这些证据和反例立即使事情变得至关重要。

— 主教

我对术语有疑问。在统计中，我研究了稳定分配是满足收敛条件（称为稳定定律）的分布极限。这些是连续的非正态分布。是归一化平均Z的极限的分布，但是由于总体分布的尾部行为，中心极限定理不适用于Z。实际上，中心极限定理可以属于稳定的法律，如果某个参数的α= 2

— 迈克尔·Chernick

您在这里所说的稳定在总和下更接近，在我看来，这更像是无限可整的术语。“稳定”一词在哪些领域使用？它正在被用于概率统计吗？

— Michael R. Chernick

（+1）根据维基百科，“稳定”分布使得aX_1具有与相同的分布，而Poisson并非如此。我猜唯一合适的词（如果我错了，请纠正我）是“泊松家族总的来说是稳定的”。通常，这并不意味着分布是无限可整的（认为是二项式的），但是泊松恰好具有此性质。

a X_{1} + b X_{2}

$aX_1 + bX_2$

c X + d

$cX + d$

— gui11aume12年