矩生成函数和概率生成函数有什么区别？

我对“概率生成函数”和“矩生成函数”这两个术语感到困惑。这些术语有何不同？

概率生成函数通常用于（负）整数值随机变量，但实际上仅是矩生成函数的重新打包。因此，两者包含相同的信息。

令为非负随机变量。然后（请参阅https://en.wikipedia.org/wiki/Probability-generating_function），将概率生成函数定义为 并且矩生成函数为 现在定义使。那么 因此，得出的结论是简单： G （z ）= E z X M X（t ）= E e t X log z = t e t = z G （z ）= E z X = E（e t ）X = E e t X = M X（t ）= M X（log z ）$X$

$$\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} G(z) = \E z^X$$ $$M_X(t) = \E e^{t X}$$ $\log z=t$$e^t=z$ $$G(z)=\E z^X = \E (e^t)^X = \E e^{t X} =M_X(t)=M_X(\log z)$$ $$G(z) = M_X(\log z)$$

EDIT   

@Carl在此评论中写了我的公式“ ...正确，除非错误，否则为真”，因此我需要发表一些评论。当然，等式假定两者均已定义，并且需要给出变量的域。我认为该职位没有这些手续就足够清楚了，但是是的，有时我太非正式了。但是还有另一点：是的，概率生成函数主要用于（名词性参数）概率质量函数，其名称由此而来。但是在定义中没有任何假设是这样，它也可以用于任何非负随机变量！例如，以速率为1的指数分布，我们可以计算 Ž ģ （ż ）= Ë Ž X = ＆Integral; ∞ 0 ž X ë - $G(z) = M_X(\log z)$$z$

$$G(z)=\E z^X=\int_0^\infty z^x e^{-x}\; dx=\dots=\frac1{1-\log z}$$ 可以用于所有目的，我们确实使用了力矩生成函数，并且您可以检查两个函数之间的关系是否满足。通常我们不这样做，对（可能）负数和非负变量使用相同的定义可能更实用。但这不是数学所强制的。

让我们先定义两者，然后指定差异。

1）在概率论和统计学中，矩产生函数实值随机变量（mgf）是其概率分布的替代说明。

2）在概率论中，概率生成函数离散随机变量（pgf）是随机变量的概率质量函数的幂级数表示（生成函数）。

mgf可以看作是pgf的概括。区别在于，概率生成函数适用于离散随机变量，而矩生成函数适用于离散随机变量以及某些连续随机变量。例如，这两者都可以应用于泊松分布，因为它是离散的。确实，它们产生相同形式的结果。。仅mgf适用于正态分布，mgf和pgf均不适用于柯西分布，但原因略有不同。$e^{\lambda(z - 1)}$

Edit

正如@kjetilbhalvorsen指出的那样，pgf适用于非负数，而不仅仅是离散的随机变量。因此，当前的Wikipedia条目在概率生成函数中存在遗漏的错误，应该加以改进。