线性回归系数的置信区间应基于正态分布还是

让我们有一些线性模型，例如简单的方差分析：

# data generation
set.seed(1.234)                      
Ng <- c(41, 37, 42)                    
data <- rnorm(sum(Ng), mean = rep(c(-1, 0, 1), Ng), sd = 1)      
fact <- as.factor(rep(LETTERS[1:3], Ng)) 

m1 = lm(data ~ 0 + fact)
summary(m1)

结果如下：

Call:
lm(formula = data ~ 0 + fact)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-2.30047 -0.60414 -0.04078  0.54316  2.25323 

Coefficients:
      Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
factA  -0.9142     0.1388  -6.588 1.34e-09 ***
factB   0.1484     0.1461   1.016    0.312    
factC   1.0990     0.1371   8.015 9.25e-13 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

Residual standard error: 0.8886 on 117 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.4816,     Adjusted R-squared: 0.4683 
F-statistic: 36.23 on 3 and 117 DF,  p-value: < 2.2e-16 

现在，我尝试两种不同的方法来估计这些参数的置信区间

c = coef(summary(m1))

# 1st method: CI limits from SE, assuming normal distribution
cbind(low = c[,1] - qnorm(p = 0.975) * c[,2], 
    high = c[,1] + qnorm(p = 0.975) * c[,2])

# 2nd method
confint(m1)

问题：

1. 估计线性回归系数的分布是什么？正常还是？$t$
2. 为什么两种方法产生不同的结果？假设正态分布和正确的SE，我希望两种方法的结果相同。

非常感谢你！

数据〜0 +事实

答案后编辑：

答案是正确的，这将与confint(m1)！产生完全相同的结果。

# 3rd method
cbind(low = c[,1] - qt(p = 0.975, df = sum(Ng) - 3) * c[,2], 
    high = c[,1] + qt(p = 0.975, df = sum(Ng) - 3) * c[,2])

（1）当误差是正态分布和它们的方差不已知的，则β - β 0具有吨的零假设下-配送β0是真正的回归系数。在默认的是测试β0=0，所以吨-statistics报道有只是

$$\frac{\hat{\beta} - \beta_0}{{\rm se}(\hat{\beta})}$$ $t$$\beta_0$R$\beta_0 = 0$$t$ $$\frac{\hat{\beta}}{{\rm se}(\hat{\beta})}$$

请注意，在某些规则性条件下，以上统计量始终是渐近正态分布的，而不管误差是否是正态的或误差方差是否已知。

（2）得到不同结果的原因是正态分布的百分位数与分布的百分位数不同。因此，您在标准误差前面使用的乘数是不同的，从而提供不同的置信区间。$t$

具体来说，回想一下使用正态分布的置信区间为

$$\hat{\beta} \pm z_{\alpha/2} \cdot {\rm se}(\hat{\beta})$$

其中是α / 2的正态分布的位数。在一个标准的情况下95％的置信区间， α=0.05和 ž α / 2 ≈1.96。基于t分布的置信区间为$z_{\alpha/2}$$\alpha/2$$95\%$$\alpha = .05$$z_{\alpha/2} \approx 1.96$$t$

$$\hat{\beta} \pm t_{\alpha/2,n-p} \cdot {\rm se}(\hat{\beta})$$

其中乘法器是基于的位数吨与-配送$t_{\alpha/2,n-p}$$t$自由度，其中的度 Ñ为样本大小和 p是预测的数目。当 Ñ是大的，吨α / 2 ，Ñ - p和 ž α / 2是大致相同的。$n-p$$n$$p$$n$$t_{\alpha/2,n-p}$$z_{\alpha/2}$

$t$$5$$300$$p=1$$t$$z$