我们可以从得出结论，是独立的吗？

好吧，我们无法看到有趣的反例，例如https://en.wikipedia.org/wiki/Subindependence。但是真正的问题是：是否有某种方法可以加强这种状况，从而使独立性得以遵循？例如，有一些组的功能使得如果对于所有然后独立如下？而且，这样的函数集必须有多大？ $g_1, \dotsc, g_n$ $\E g_i(X) g_j(Y) =\E g_i(X) \E g_j(Y)$ $i,j$

而且，还有一些很好的参考资料可以解决这个问题吗？

— 凯捷蒂尔·哈沃森
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你有运气吗？我很想看看是否有一组有限的函数可用于任何一对RV，并且特别需要说明的是CDF因式分解以外的东西

— jld

我会仔细看看的！我怀疑通常会有一个有限集，但是作为线性函数集基础的任何集都应该这样做（例如，如果值都在则一组线性独立多项式（或其他）函数应该做的

X, Y

$X, Y$

0, 1, 2, \dots, n

$0,1,2,\dotsc,n$

n + 1

$n+1$

— kjetil b halvorsen

令为一个概率空间。根据定义，两个随机变量如果它们的代数和是独立的，即我们有。 $(\Omega, \mathscr F, P)$ $X, Y :\Omega \to \mathbb R$ $\sigma$ $S_X := \sigma(X)$ $S_Y := \sigma(Y)$ $\forall A \in S_X, B \in S_Y$ $P(A \cap B) = P(A)P(B)$

令并取（感谢@grand_chat指出就足够了）。然后我们有和 $g_a(x) = I(x \leq a)$ $G = \{g_a : a \in \mathbb Q\}$ $\mathbb Q$

Ë （ G_{一个} （ X ） G_{b} （ ÿ ） ） = Ë （ 一世 （ X \leq 一个 ） 一世 （ ÿ \leq b ） ） = Ë （ 一世 （ X \leq 一个 ， ÿ \leq b ） ） = P （ X \leq 一个 \cap ÿ \leq b ）

$E\left(g_a(X)g_b(Y)\right) = E(I(X \leq a)I(Y \leq b)) = E(I(X \leq a, Y \leq b)) = P(X \leq a \cap Y \leq b)$

Ë （ G_{一个} （ X ） ） Ë （ G_{b} （ ÿ ） ） = P （ X \leq 一个 ） P （ ÿ \leq b ） 。

$E(g_a(X))E(g_b(Y)) = P(X \leq a)P(Y \leq b).$

如果我们假设那么我们可以对定理表明即。 $\forall a, b \in \mathbb Q$

P （ X \leq 一个 \cap ÿ \leq b ） = P （ X \leq 一个 ） P （ ÿ \leq b ）

$P(X \leq a \cap Y \leq b) = P(X \leq a)P(Y \leq b)$

π - λ

$\pi-\lambda$

P （ 一个 \cap 乙 ） = P （ 一个 ） P （ 乙 ） \forall 一个 \in {小号}_{X} ， 乙 \in {小号}_{ÿ}

$P(A \cap B) = P(A)P(B) \hspace{5mm} \forall A \in S_X, B \in S_Y$

X ⊥ Y

$X \perp Y$

因此，除非我犯了一个错误，否则我们至少有一个可数的此类函数集合，并且适用于在公共概率空间上定义的任意一对随机变量。

— jld
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实际上您展示了什么？尽管您定义了不可计数的函数集合，但是在哪里证明了它们都是必需的呢？很难想象，例如，当和各自具有有限的可能值集合时，将需要如此大量的函数。

X

$X$

Y

$Y$

— 威伯

@whuber我试图回答有关是否存在这样的功能集合的问题。我同意，更有趣的方面是找到一个最小的集合（我仍在研究）

— jld

您可以通过仅考虑有理来将减少为可数集合。

G

$G$

a

$a$

— grand_chat

@grand_chat好点了，我已经更新了

— jld