为什么基本的假设检验关注均值而不关注中位数？

在基本的本科统计课程中，通常会教学生（假设？）针对总体平均值的假设检验。
为什么重点放在均值而不是中位数？我的猜测是，由于中心极限定理，测试均值更容易，但是我很想阅读一些有根据的解释。

— 纳夫蒂蒂
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平均值具有用于唯一性，计算和演算的有用属性。它通常与足够的统计信息有关。

— 亨利

Answers:

因为艾伦·图灵（Alan Turing）是罗纳德·费舍（Ronald Fisher）出生的。

在过去，在使用计算机之前，所有这些工作都必须由手工完成，或者最多只能由我们现在称为计算器的工作来完成。可以通过这种方式进行比较均值的测试-这很费力，但可能。用这种方法测试分位数（例如中位数）几乎是不可能的。

例如，分位数回归依赖于使相对复杂的函数最小化，这是无法手动完成的。编程是可能的。参见例如Koenker或Wikipedia。

分位数回归的假设少于OLS回归，并提供了更多信息。

— 彼得富勒姆-恢复莫妮卡
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当时确实存在计算机，但其含义与我们现在所说的完全不同。

— Maarten Buis

确实！计算机是进行计算的人。

— 彼得·弗洛姆

@nafrtiti教学大纲在变化，但变化缓慢。有很多需要克服的势头，统计之外的人还不习惯新想法，因此可能会拒绝它们。

— 彼得·弗洛姆

@SunQingyao排序比添加要昂贵得多。加是O（n），它是硬件最基本的操作之一，只需要一个寄存器。除此之外，我需要知道的是总数和更多数据项的数量并计算新的均值。为了计算中位数，我需要全套

— JimmyJames

使用快速选择（如果随机选择了错误的枢轴，则使用5中位数来选择枢轴），您可以找到O（N）的分位数，从而使中位数和平均值之间的差距变小。当然，您需要知道这样的方法存在（即使在图灵斯时期也是未知的）。

— Surt

我想在Harrell和Flom给出的正确原因中添加第三个原因。原因是我们使用欧几里得距离（或L2）而不是曼哈顿距离（或L1）作为我们的接近度或误差标准度量。如果一个人有多个数据点而一个人想要一个数字来估计它，一个显而易见的想法是找到一个最小化“误差”的数字，即该数字在所选数字和构成数据的数字。在数学符号，对于给定的误差函数E，一个想要找到 $x_1, \ldots x_n$ $\theta$ 。如果一个花费E（X，Y）的L2范数或距离，即，则最小化在所有是平均。如果采用L1或Manhattan距离，则整个 $min_{\theta \in \Bbb{R}} (E(\theta,x_1, \ldots x_n) = min_{\theta \in \Bbb{R}}(\sum_{i=1}^{i=n} E(\theta,x_i))$ $E(x,y) = (x-y)^2$ $\theta \in \Bbb{R}$ 是中值。因此，平均值是自然的数学选择-如果使用L2距离！ $\theta \in \Bbb{R}$

— Aginensky
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由于

被广泛用来表示期望，我建议更换

着，说，

。

E

$E$

E

$E$

Err

$\text{Err}$

— 理查德·哈迪

也许值得注意的是，

在

时是可微的，而

不是。我认为，这是微妙但关键的根本原因，为什么MSE在数学统计领域比MAE更普遍。

x^{2}

$x^2$

x = 0

$x=0$

| x |

$|x|$

— Just_to_Answer

@Just_to_Answer-我认为这是另一个原因。这些年来，我已经考虑了很多。对我来说，我的结论是，您的发言与我们通常使用欧几里得而不是曼哈顿距离的原因有关：)

— aginensky

通常，选择均值不是因为中位数更具代表性，更可靠或更有意义，而是因为人们将估计量与估计量混淆了。换句话说，有些人选择总体均值作为关注数量，因为在正态分布下，样本均值比样本中位数更精确。相反，正如您所做的那样，他们应该更多地考虑真正的利息量。

一个侧边栏：对于总体中位数，我们有一个非参数置信区间，但是没有非参数方法（也许是数值密集的经验似然法除外）来获得总体平均值的置信区间。如果您希望保持自由分布，则可以集中在中位数上。

请注意，中心极限定理远没有看起来有用，正如该站点上其他地方所讨论的。它有效地假设方差是已知的，或者分布是对称的，并且其形状使得样本方差是色散的竞争估计。

— 弗兰克·哈雷尔
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我相信可以为平均值构造一个非参数置信区间-例如通过置换检验（例如，可以在对称假设下完成，而无需假设任何特定的函数形式）。尽管在对称性以外的其他一些假设下也有可能，但这种情况在某种程度上受到了限制。如果您准备好应对自举所带来的大致覆盖范围，则可以在没有诸如对称性这样的假设的情况下获得非参数间隔。

— Glen_b-恢复莫妮卡（Monica）

如果假设对称，则它是参数化的。还没有看到这种情况扩展到非对称情况。引导程序（除了可能的学生化t方法外，所有其他变体）在严重不对称情况下都非常不准确。参见stats.stackexchange.com/questions/186957

— 弗兰克·哈雷尔

对称性不是有限参数。Wilcoxon有符号秩检验假设在零值以下对称（以使符号具有可交换性）。您会称其为参量吗？

— Glen_b-恢复莫妮卡

stats.stackexchange.com/questions/9573 stats.stackexchange.com/questions/186957

— 弗兰克·哈雷尔

关于对称性的@Glen_b问题-这是一个很好的问题。Wilcoxon带符号秩检验是一个有趣的案例，因为与WIlcoxon 2样本检验不同，它提出了一个严格的对称假设。我猜您可以说您可以是非参数的，同时仍然需要某种通用假设，例如对称性。也许术语应该是“非参数性的”？另一方面，非参数2样本检验在优化II型错误（但不是I型错误）方面有限制。

— 弗兰克·哈雷尔