非中心指数分布的期望对数值

假设 $X$ 与位置呈非中心指数分布 $k$ 和率 $\lambda$ 。那是什么 $E(\log(X))$ 。

我知道 $k=0$ ，答案是 $-\log(\lambda) - \gamma$ 哪里 $\gamma$ 是Euler-Mascheroni常数。那什么时候 $k > 0$ ？

mean expected-value integral

— 尼尔·G
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您是否尝试过在Mathematica中进行集成？

我假设

k > 0

$k > 0$ （当密度写为

λ \exp {- λ (x - k)}

$\lambda \exp\{-\lambda(x-k)\}$ ，）除此以外

x < 0

$x < 0$ 可能性> 0，对

E \log x

$\mathbb{E}\log x$ 。

— jbowman 2012年

我有

E [\log (X)] = e^{k λ} Γ (0, k λ) + \log (k)

${\mathbb E}[\log(X)]=e^{k\lambda}\Gamma(0,k\lambda)+\log(k)$ 。如果使用命令Assumptions指定参数空间，则Mathematica速度更快。

上位不完全伽玛函数是否算作闭合形式？（对我而言，不是。）这只是方便地通过符号隐藏积分。

— 主教

@NeilG这是Mathematica代码Integrate[Log[x + k]*\[Lambda]*Exp[-\[Lambda]*x], {x, 0, \[Infinity]}, Assumptions -> k > 0 && \[Lambda] > 0]。您可以将其复制并粘贴到.nb文件中。我不确定Wolfram Alpha是否允许包括限制。

期望的积分可以通过蛮力操纵而摔倒。在这里，我们改为尝试提供一种可能性稍高的替代推导。

让 $X \sim \mathrm{Exp}(k,\lambda)$ 是具有位置参数的非中心指数随机变量 $k > 0$ 和速率参数 $\lambda$ 。然后 $X = Z + k$ 哪里 $Z \sim \mathrm{Exp}(\lambda)$ 。

注意 $\log(X/k) \geq 0$ 因此，使用标准事实来计算非负随机变量的期望，但是，由于，在因此其中最后一个等式来自于替换，请注意。

E \log (X / k) = \int_{0}^{\infty} P (\log (X / k) > z) d z = \int_{0}^{\infty} P (Z > k (e^{z} - 1)) d z .

$\newcommand{\e}{\mathbb E}\newcommand{\rd}{\mathrm d}\renewcommand{\Pr}{\mathbb P} \e \log(X/k) = \int_0^\infty \Pr(\log(X/k) > z)\,\rd z = \int_0^\infty \Pr(Z > k(e^z - 1)) \,\rd z \>.$

P (Z > k (e^{z} - 1)) = \exp (- λ k (e^{z} - 1))

$\Pr(Z > k(e^z -1)) = \exp(-\lambda k(e^z - 1))$

z \geq 0

$z \geq 0$

Z \sim E x p (λ)

$Z \sim \mathrm{Exp}(\lambda)$

E \log (X / k) = e^{λ k} \int_{0}^{\infty} \exp (- λ k e^{z}) d z = e^{λ k} \int_{λ k}^{\infty} t^{- 1} e^{- t} d t,

$\e \log(X/k) = e^{\lambda k} \int_0^\infty \exp(-\lambda k e^z) \, \rd z = e^{\lambda k} \int_{\lambda k}^\infty t^{-1} e^{-t} \,\rd t \>,$

t = λ k e^{z}

$t = \lambda k e^z$

d z = d t / t

$\rd z = \rd t / t$

根据定义，最后一个显示的右侧尺寸上的积分只是，因此由@Procrastinator的Mathematica计算在问题注释中确认。 $\Gamma(0,\lambda k)$

E \log X = e^{λ k} Γ (0, λ k) + \log k,

$\e \log X = e^{\lambda k} \Gamma(0,\lambda k) + \log k \>,$

注意：等效符号也经常代替。 $\mathrm E_1(x)$ $\Gamma(0,x)$

— 红衣主教
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+1 @Michael Chernick似乎并不是每个人都懒惰；）。

真的很棒我只想指出对实现此目标的任何人来说，不完全伽马函数的许多实现都将第一个参数严格限制为正数。身份解决了这个小问题。

Γ (0, z) = - Ei (- z)

$\Gamma(0, z) = -\operatorname{Ei}(-z)$

— 尼尔·G