Pitman–Koopman–Darmois定理的大学水平证明

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Pitman-Koopman-Darmois定理说，如果来自参数化概率分布族的iid样本承认一个足够的统计量，其标量分量的数量不随样本量的增长而增加，则它是一个指数族。

是否有任何教科书或基本说明文件提供证明？
为什么以那三个人的名字命名？

mathematical-statistics references

— 迈克尔·哈迪
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Answers:

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毫不奇怪，引理被称为Pitman-Koopman-Darmois的原因是，这三位作者大约同时独立地建立了引理的相似版本：

Darmois，G.（1935年），《关于可能性的评估》，Comptes Rendus de l'Académiedes Sciences，200，1265-1266。
Koopman，BO（1936年），《关于接受足够统计量的分布》 ，《美国数学学会学报》，第1卷。39，第3号。[链接]
Pitman，EJG（1936）足够的统计量和内在准确性，《剑桥哲学学会学报》，32，567-579。

遵循一维结果

Fisher，RA（1934）数学似然的两个新性质，《皇家学会学报》，系列A，144，285-307。

我不知道此结果有非技术性的证明。不涉及复杂参数的一个证明是唐·弗雷泽（Don Fraser）（第13-16页），它基于以下可能性：似然函数是具有函数值的足够统计量。但是我发现该论点是有争议的，因为统计数据是作为样本函数的实向量，而不是函数（函数值变换）。通过更改统计信息的性质，唐·弗雷泽（Don Fraser）更改了充足性的定义，从而更改了Darmois-Koopman-Pitman引理的含义。 $x$

— 西安
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+1。Nitpick在等式之后的段落中链接的Koopman论文上。（6）证明随处消失的雅可比行列：不应任意选择雅克比行列的邻域，以使雅可比行列不为零。必须针对每个点在本地而不是在本地争论。非零微分在该点的（定义）存在保证了该点存在足够小的邻域，使得等式的左侧。（5）在那个点以外的那个邻里总是不同于那个点。

(x_{1}^{0}, x_{2}^{0}, x_{3}^{0})

$(x_1^0,x_2^0,x_3^0)$

— 汉斯

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如本文所暗示的，非零雅可比行列式会导致域（歧管）中的全局唯一值是不正确的。这仅在本地适用。同样，维数不是通过该段最后一句话所要求的同胚来保持的，而是通过局部非同构来保持的，在这种情况下就是这样。

— 汉斯

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