什么时候不能用均值替换随机变量？

建模和仿真中经常要进行的简化是用平均值代替随机变量。

这种简化何时会导致错误的结论？

modeling mean random-variable

“ Var”代表变量，方差或风险价值吗？

— 亨利

启动一项为其会员的Netflix订阅付费的服务会很有趣。我们只收取，其中是在域随机选择的，所以知道，免费Netflix！稍后，我们将为一些客户提供选择，而不是支付。

| x | \frac{U S D}{m o n t h}

$\left|x\right|~\frac{\mathrm{USD}}{\mathrm{month}}$

x

$x$

[- 100, 100]

$\left[-100,100\right]$

x^{2} \frac{U S D}{m o n t h}

$x^2~\frac{\mathrm{USD}}{\mathrm{month}}$

— 纳特

在一个非常简单的情况下，如果我们将其推向极致，我们可能会丢失几乎所有我们关心的信息。考虑X上Y的回归，我们用均值替换了Y和X。有关坡度的任何信息现在都将丢失。

— 戴森

您是要替换缺失值，还是要在特定情况下替换随机变量（例如，基于随机效应模型进行预测）？

— IWS

Answers:

如果用某个点估计值替换缺失值，则将忽略其所有可变性。因此，您不会将所有原始可变性传播到模型。您的参数估计值似乎具有太低的标准误差。如果进行推断，则p值将偏低。您的置信区间 s太窄。如果您进行预测，则您的Forecast-interval将会太窄。

总体而言：您将过于肯定自己的结论。

— 斯蒂芬·科拉萨（Stephan Kolassa）
source

好答案！考虑一下这种方式：随机变量具有分布。可以向左，向右倾斜。我可以是双峰的，等等。通过将变量减小为平均值，您可以删除所有额外的信息（不确定性），并通过单点估计替换分布（间隔）。

— 十一美元，2017年

如果用某个点估计值替换缺失值，则还假设数据是随机缺失的。缺失时，随机变量的平均值可能不等于数据的平均值。

— Neil G

@NeilG对nitpick表示歉意，但是用均值替换缺失值并不直接意味着假设数据随机丢失。特别是由于围绕数据丢失的术语（有些令人困惑）认为“随机丢失”是指以其他但已知数据为条件而随机丢失的数据（en.wikipedia.org/wiki/Missing_data）。IMO，替换数据的方式并不暗示其背后的原因。该推理应明确，并导致处理丢失数据的适当方法。也就是说，我完全同意斯蒂芬的回答。

— IWS

@IWS缺失指标以观察到的数据为条件很好。随机缺失意味着缺失指标取决于未观察到的数据。如果将变量替换为以观察条件为条件的平均值，则该变量可能与其无条件平均值不同-除非随机丢失数据。

— Neil G

@NeilG 当您在最后一条评论的最后一句中写“随机丢失”时，您不是说“ 完全随机丢失”吗？如果是这样，我们确实同意，但是我只是在挑剔术语。（请参阅我在上面的评论中放入的Wiki页面，我一直都被教导，阅读和使用该术语）

— IWS

除了斯蒂芬的观点：

在几乎您对随机变量的非线性函数感兴趣的任何应用中，用均值代替通常会引入偏差，甚至可能产生矛盾的结果。粒子的平均速度和平均质量通常与平均动能不一致，因为能量随V ^ 2缩放。
平均值甚至可能不是随机变量的可能结果。如果我的可能结果是0个“患者死亡”和1个“患者生命”，那么将患者描述为0.1“大部分死亡但略微存活”的模型可能没有帮助。

— 杰弗里·布伦特（Geoffrey Brent）
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必填：youtube.com/watch？

— 亚历克西斯（Alexis）

@Alexis，但当然！

— 杰弗里·布伦特

在金融市场上一个真实的例子（与您得到的两个答案有关）。期权的价格基于资产的价格高于（或低于）给定水平的概率。

例如，当资产的期望值为80时，以100的价格购买资产的期权的价格。如果用均值替代随机变量（资产价格），则价格为零（如您永远不会以100的成本购买80的资产）。如果考虑到资产的随机性（这是正确的做法），您将获得正价，因为资产价格有可能超过100。

— 胡安·伊格纳西奥·吉尔
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