统计模型和概率模型之间的区别？

应用概率是概率的重要分支，包括计算概率。由于统计是使用概率论来构建处理数据的模型，据我所知，我想知道统计模型与概率模型之间的本质区别是什么？概率模型不需要真实数据吗？谢谢。

probability mathematical-statistics

— 王宏朗
source

甲概率模型由三联体，其中，是样本空间，是代数（事件）和是一个概率测度。 $(\Omega,{\mathcal F},{\mathbb P})$ $\Omega$ ${\mathcal F}$ $\sigma$ ${\mathbb P}$ ${\mathcal F}$

直观的解释。一种概率模型可以解释为一个已知的 随机变量。例如，令为均值和方差正态分布随机变量。在这种情况下，概率测度与相关联的累积分布函数（CDF）通过 $X$ $X$ $0$ $1$ ${\mathbb P}$ $F$

F (x) = P (X \leq x) = P (ω \in Ω : X (ω) \leq x) = \int_{- \infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 π}} \exp (- \frac{t^{2}}{2}) d t .

$F(x)={\mathbb P}(X\leq x) = {\mathbb P}(\omega\in\Omega:X(\omega)\leq x) =\int_{-\infty}^x \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left({-\dfrac{t^2}{2}}\right)dt.$

概括。概率模型的定义取决于概率的数学定义，例如，参见自由概率和量子概率。

甲统计模型 是一组概率模型，这是一组概率测度/样品上空间分布。 ${\mathcal S}$ $\Omega$

通常选择这组概率分布来对我们拥有数据的某种现象进行建模。

直观的解释。在统计模型中，描述某种现象的参数和分布都是未知的。这样的一个例子是正态分布的与家庭内的平均和方差，这是，这两个参数是未知的并且您通常要使用的数据集，用于估计参数（即，选择的元件）。可以在任何和上选择这组分布，但是，如果我没有记错的话，在实际示例中，仅在同一对上定义的分布 $\mu\in{\mathbb R}$ $\sigma^2\in{\mathbb R_+}$ ${\mathcal S}$ $\Omega$ ${\mathcal F}$ $(\Omega,{\mathcal F})$ 有合理的考虑。

概括。本文提供了统计模型的非常正式的定义，但是作者提到“贝叶斯模型需要先验分布形式的附加组成部分……尽管贝叶斯公式不是本文的主要重点”。因此，统计模型的定义取决于我们使用的模型类型：参数模型或非参数模型。同样在参数设置中，定义取决于如何处理参数（例如，古典与贝叶斯）。

的区别是：在一个概率模型你确切地知道的概率的措施，例如一个，其中，是已知的参数，而在统计模型你考虑集分布。中，例如，其中是未知参数。 $\mbox{Normal}(\mu_0,\sigma_0^2)$ $\mu_0,\sigma_0^2$ $\mbox{Normal}(\mu,\sigma^2)$ $\mu,\sigma^2$

它们都不要求数据集，但我要说的是通常选择统计模型来建模。

— 西安
source

@HonglangWang在某种程度上是正确的。主要区别在于，概率模型只是一个（已知）分布，而统计模型是一组概率模型。数据用于从该集合中选择一个模型，或者从模型（根据数据）更好地（在某种意义上）描述现象的较小模型子集。

(+1) This is a nice answer, though I have a couple of comments. First, I think this may be selling the probabilist a little bit short. It is not at all uncommon to consider a set of probability spaces in a probabilistic model, and indeed, the possible measures can even be random (constructed on a suitably larger space). Second, a Bayesian (in particular) might find this answer slightly disconcerting in that a Bayesian statistical model can often be viewed as a single probability model on a suitable product space

Ω \times Θ

$\Omega \times \Theta$ .

— cardinal

P

${\mathbb P}$

Ω

$\Omega$

P (X \leq x)

${\mathbb P}(X\leq x)$

P (ω \in Ω : X (ω) \leq x)

${\mathbb P}(\omega\in\Omega: X(\omega)\leq x)$ , then

Ω

$\Omega$ are not observable values.

F

${\mathcal F}$ is a

σ -

$\sigma-$ algebra which is the pre-image of the Borel

σ -

$\sigma-$ algebra under

X

$X$ , again this are not observable. I am not sure how to explain this in an intuitive level.

@gung

Ω

$\Omega$ depends on the application; it is not determined by theory. For instance,

Ω

$\Omega$ could be a set of Brownian motions describing the price of a financial derivative and

X

$X$ could be the value attained at a fixed time

t

$t$ . In another application

Ω

$\Omega$ could be a set of people and

X

$X$ could be the lengths of their forearms. Generally,

Ω

$\Omega$ is a mathematical model of the physical objects of study and

X

$X$ is a numerical property of those objects.

F

$\mathcal{F}$ is the set of possible events: those situations to which we want to ascribe probabilities.

— whuber

@gung

F

$\mathcal{F}$ is a sigma algebra: it's a collection of subsets (the "events"). In the financial application, it's a set of price histories; in the forearm measurements application, the events would be sets of people. We can talk about this more if you want in a chat room.

— whuber